जंप प्रक्रियाएँ और एम्बेडेड शृंखलाएँ

एक सतत-समय मार्कोव शृंखला को एक असतत-समय जंप शृंखला में विघटित किया जा सकता है जो देखी गई अवस्थाओं के अनुक्रम को रिकॉर्ड करती है और घातीय धारण समय (exponential holding times) जो रिकॉर्ड करते हैं कि प्रत्येक अवस्था पर कितनी देर तक कब्जा किया जाता है।

Definition

एक सतत-समय मार्कोव शृंखला की एम्बेडेड शृंखला क्रमिक रूप से देखी गई अवस्थाओं की असतत-समय मार्कोव शृंखला है, जो वर्तमान अवस्था पर निर्भर स्वतंत्र घातीय धारण समय के साथ मिलकर सतत-समय प्रक्रिया को पूरी तरह से निर्धारित करती है।

Scope

यह विषय एम्बेडेड जंप शृंखला और उसकी संक्रमण संभावनाओं, अवस्था-निर्भर दरों के साथ घातीय धारण समय, जनरेटर विवरण और जंप-होल्ड निर्माण के बीच समानता, विस्फोट और सीमित समय में अनंत जंप की संभावना, और सतत-समय शृंखलाओं को असतत-समय शृंखलाओं से संबंधित करने के लिए एकसमानता (uniformisation) के उपयोग को शामिल करता है।

Core questions

• एक सतत-समय शृंखला से एम्बेडेड जंप शृंखला कैसे निकाली जाती है?
• धारण समय घातीय रूप से क्यों वितरित होते हैं, और उनकी दरें अवस्था पर कैसे निर्भर करती हैं?
• सीमित समय में अनंत जंप करके सतत-समय शृंखला कब विस्फोट कर सकती है?
• एकरूपता एक सतत-समय शृंखला को असतत-समय शृंखला में कैसे परिवर्तित करती है?

Key theories

जंप-होल्ड निर्माण

एक अवस्था से शुरू होकर, शृंखला एक घातीय समय तक प्रतीक्षा करती है जिसकी दर कुल निकास दर होती है और फिर एम्बेडेड शृंखला की संक्रमण संभावनाओं द्वारा चुनी गई एक नई अवस्था में कूद जाती है, इन दो घटकों से पूर्ण सतत-समय प्रक्रिया का पुनर्निर्माण करती है।

विस्फोट और गैर-संरक्षणशीलता

यदि निकास दरें एक प्रक्षेपवक्र के साथ पर्याप्त तेजी से बढ़ती हैं, तो संचयी धारण समय अभिसरण कर सकते हैं और शृंखला सीमित समय में अनंत जंप करती है, एक विस्फोट जिसे संक्रमण अर्धसमूह के ईमानदार होने के लिए बाहर रखा जाना चाहिए।

Clinical relevance

जंप-होल्ड निर्माण मार्कोव शृंखलाओं के सटीक स्टोकेस्टिक सिमुलेशन का आधार है, जिसमें रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क के लिए गिलेस्पी एल्गोरिथम शामिल है, और एकसमानता विश्वसनीयता और प्रदर्शन मॉडल में क्षणिक वितरणों की गणना के लिए एक स्थिर संख्यात्मक विधि प्रदान करती है।

History

फेलर और डूब ने 1940 के दशक में जंप-होल्ड प्रतिनिधित्व और विस्फोट घटना को स्थापित किया, यह स्पष्ट करते हुए कि एक सतत-समय शृंखला अपनी दरों द्वारा विशिष्ट रूप से कब निर्धारित होती है; इस निर्माण ने बाद में सटीक सिमुलेशन विधियों को आधार प्रदान किया जैसे कि रासायनिक गतिकी के लिए गिलेस्पी का 1976 का एल्गोरिथम।

Key figures

• William Feller
• Joseph Doob
• Daniel Gillespie

Seminal works

• norris1997

Frequently asked questions

एक सतत-समय मार्कोव शृंखला की एम्बेडेड शृंखला क्या है?

यह असतत-समय मार्कोव शृंखला है जो केवल उन विशिष्ट अवस्थाओं के अनुक्रम को रिकॉर्ड करती है जिन्हें प्रक्रिया देखती है, यह अनदेखा करते हुए कि वह प्रत्येक में कितनी देर तक रहती है, और यह कैप्चर करती है कि प्रक्रिया कहाँ जाती है।

विस्फोट क्या है?

विस्फोट तब होता है जब एक सतत-समय शृंखला एक सीमित समय अंतराल के भीतर अनंत जंप करती है क्योंकि उसके धारण समय बहुत तेज़ी से सिकुड़ते हैं; अच्छी तरह से व्यवहार करने वाली शृंखलाएं इसे टालने के लिए बनाई जाती हैं।