नवीकरण सिद्धांत

नवीकरण सिद्धांत उन प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है जो किसी घटना के प्रत्येक घटित होने पर नए सिरे से शुरू होती हैं, जहाँ लगातार घटनाओं के बीच का समय स्वतंत्र और समान रूप से वितरित होता है।

Definition

एक नवीकरण प्रक्रिया एक गणना प्रक्रिया है जिसके अंतरालन समय स्वतंत्र और समान रूप से वितरित धनात्मक यादृच्छिक चर होते हैं, और नवीकरण सिद्धांत परिणामी नवीकरण फलन, उसके स्पर्शोन्मुखी व्यवहार, और आयु तथा अवशिष्ट जीवनकाल जैसी संबंधित मात्राओं के सीमित व्यवहार का विश्लेषण करता है।

Scope

यह विषय नवीकरण प्रक्रिया और नवीकरण फलन, नवीकरण समीकरण और उसके समाधान, दीर्घकालिक नवीकरण दर देने वाला प्रारंभिक नवीकरण प्रमेय, स्पर्शोन्मुखी वृद्धियों पर मुख्य नवीकरण प्रमेय और ब्लैकवेल का प्रमेय, निरीक्षण विरोधाभास और आयु तथा अवशिष्ट जीवन का वितरण, और विलंबित तथा स्थिर नवीकरण प्रक्रियाओं को शामिल करता है।

Core questions

• अंतरालन वितरण से नवीकरण फलन को कैसे परिभाषित और परिकलित किया जाता है?
• नवीकरण की दीर्घकालिक दर क्या है?
• मुख्य नवीकरण और ब्लैकवेल प्रमेय स्पर्शोन्मुखी रूप से क्या वर्णन करते हैं?
• निरीक्षण विरोधाभास एक विशिष्ट प्रेक्षित अंतराल को औसत से लंबा क्यों बनाता है?

Key theories

प्रारंभिक और मुख्य नवीकरण प्रमेय

दीर्घकालिक नवीकरण दर माध्य अंतरालन समय के व्युत्क्रम के बराबर होती है, और मुख्य नवीकरण प्रमेय नवीकरण घनत्व के साथ एक फलन के संवलन का सीमित मान देता है, जो नवीकरण समीकरणों के एक विस्तृत वर्ग के स्पर्शोन्मुखी व्यवहार की आपूर्ति करता है।

आयु, अवशिष्ट जीवन, और निरीक्षण विरोधाभास

एक निश्चित अवलोकन समय को कवर करने वाला अंतराल एक विशिष्ट अंतरालन अंतराल की तुलना में स्टोकेस्टिक रूप से लंबा होता है क्योंकि लंबे अंतरालों के नमूने लिए जाने की अधिक संभावना होती है, और सीमित आयु तथा अवशिष्ट-जीवन वितरण संतुलन नवीकरण घनत्व से प्राप्त होते हैं।

Clinical relevance

नवीकरण सिद्धांत विश्वसनीयता इंजीनियरिंग में घटकों के प्रतिस्थापन, रखरखाव और वारंटी विश्लेषण में घटनाओं की पुनरावृत्ति, और यादृच्छिक विफलता समय वाले ऑपरेटिंग सिस्टम की दीर्घकालिक लागत का मॉडल तैयार करता है, और यह कतारबद्धता और इन्वेंट्री मॉडल के लिए स्पर्शोन्मुखी आधार प्रदान करता है।

History

नवीकरण सिद्धांत 1930 और 1940 के दशक में जनसंख्या प्रतिस्थापन और औद्योगिक प्रतिस्थापन की समस्याओं से विकसित हुआ, जिसमें फेलर और स्मिथ ने नवीकरण समीकरण और उसके स्पर्शोन्मुखी व्यवहार को स्थापित किया, ब्लैकवेल ने 1948 में अपना नवीकरण प्रमेय सिद्ध किया, और कॉक्स के 1962 के मोनोग्राफ ने इस विषय को अपनी मानक व्याख्या दी।

Key figures

• William Feller
• David Blackwell
• David Cox
• Walter Smith

Seminal works

• coxRenewal1962

Frequently asked questions

नवीकरण प्रक्रिया क्या है?

यह एक ऐसी प्रक्रिया है जो उन घटनाओं की गणना करती है जिनके अंतरालन समय स्वतंत्र और समान रूप से वितरित होते हैं; पॉइसन प्रक्रिया विशेष स्थिति है जहाँ वे समय घातीय होते हैं।

निरीक्षण विरोधाभास क्या है?

यदि आप एक निश्चित समय पर एक नवीकरण प्रक्रिया का निरीक्षण करते हैं, तो उस समय वाले अंतराल की लंबाई यादृच्छिक रूप से चुने गए अंतराल की तुलना में अधिक होने की प्रवृत्ति होती है, क्योंकि लंबे अंतरालों में आपके पड़ने की अधिक संभावना होती है।