रूपांतरण और आघूर्ण

यादृच्छिक चरों के फलनों के अपने वितरण होते हैं, जो चर-परिवर्तन सूत्रों द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, और आघूर्ण तथा उनके जनक फलन माध्य, प्रसरण और उच्च-क्रम आकार के माध्यम से एक वितरण को सारांशित करते हैं।

Definition

एक यादृच्छिक चर का रूपांतरण उसका एक मापनीय फलन है जिसका वितरण मूल नियम को आगे बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है, और आघूर्ण एक यादृच्छिक चर की घातों की अपेक्षाएँ हैं जो उसके वितरण के स्थान, फैलाव और आकार को सारांशित करते हैं।

Scope

यह विषय चर-परिवर्तन और जैकोबियन सूत्रों द्वारा एक या कई यादृच्छिक चरों के फलनों के वितरण, आघूर्ण और केंद्रीय आघूर्ण, प्रसरण और सहप्रसरण, आघूर्ण और संचयी जनक फलन, आघूर्ण, संचयी, विषमता और कुकुदता के बीच संबंध, और आघूर्ण समस्या को शामिल करता है कि कब आघूर्ण एक वितरण को निर्धारित करते हैं।

Core questions

• यादृच्छिक चरों के एक फलन का वितरण मूल वितरण से कैसे परिकलित किया जाता है?
• एक वितरण के क्रमिक आघूर्ण क्या मापते हैं?
• जनक फलन एक साथ सभी आघूर्णों को कैसे एन्कोड करते हैं?
• एक वितरण के आघूर्ण इसे विशिष्ट रूप से कब निर्धारित करते हैं?

Key concepts

• चरों का परिवर्तन और जैकोबियन
• आघूर्ण और केंद्रीय आघूर्ण
• प्रसरण और सहप्रसरण
• संचयी
• आघूर्ण समस्या

Key theories

चर-परिवर्तन सूत्र

एक सुचारु व्युत्क्रमणीय रूपांतरण के लिए रूपांतरित चर का घनत्व व्युत्क्रम पर मूल्यांकित मूल घनत्व होता है, जिसे जैकोबियन निर्धारक के निरपेक्ष मान से मापा जाता है, जो यादृच्छिक चरों के एक फलन के नियम को प्राप्त करने के लिए मानक उपकरण है।

आघूर्ण और संचयी जनक फलन

जब यह मौजूद होता है, तो आघूर्ण जनक फलन मूल पर अपने व्युत्पन्न के माध्यम से सभी आघूर्णों को एन्कोड करता है, और इसका लघुगणक, संचयी जनक फलन, में संचयी होते हैं जो स्वतंत्र चरों पर जुड़ते हैं, जिससे योगों के अध्ययन को सरल बनाया जाता है।

आघूर्ण समस्या

आघूर्ण कार्लमैन जैसी वृद्धि स्थितियों के तहत एक वितरण को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं, लेकिन लॉग-नॉर्मल जैसे भारी-पूंछ वाले वितरण दूसरों के साथ सभी आघूर्णों को साझा कर सकते हैं, इसलिए आघूर्ण हमेशा एक नियम को चिह्नित नहीं करते हैं।

Clinical relevance

रूपांतरण और आघूर्ण अनुप्रयुक्त प्रायिकता के दैनिक उपकरण हैं: एक रूपांतरित मात्रा के वितरण को प्राप्त करना सिमुलेशन और त्रुटि प्रसार का समर्थन करता है, आघूर्ण माध्य, प्रसरण और सहसंबंध देते हैं जिनका उपयोग पूरे सांख्यिकी और पोर्टफोलियो सिद्धांत में किया जाता है, और विषमता और कुकुदता जोखिम और गुणवत्ता-नियंत्रण विश्लेषण में सामान्यता से विचलन को इंगित करती है।

History

आघूर्ण और आघूर्ण समस्या चेबिशेव, मार्कोव और स्टिल्टजेस के उन्नीसवीं सदी के काम के केंद्र में थे, जिन्होंने प्रारंभिक सीमा प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए आघूर्ण विधियों का उपयोग किया; घनत्वों के लिए चर-परिवर्तन तकनीक कलन के प्रतिस्थापन नियम का संभाव्य समकक्ष है।

Key figures

• Pafnuty Chebyshev
• Thomas Stieltjes
• William Feller
• Carl Friedrich Gauss

Seminal works

• feller1971

Frequently asked questions

क्या एक वितरण के आघूर्ण हमेशा इसे निर्धारित करते हैं?

हमेशा नहीं; आघूर्णों पर वृद्धि स्थितियों के तहत वे करते हैं, लेकिन कुछ वितरण, जैसे कि लॉग-नॉर्मल, विशिष्ट वितरणों के साथ हर आघूर्ण को साझा करते हैं, इसलिए आघूर्ण अनुक्रम नियम को निर्धारित करने में विफल हो सकता है।

आघूर्णों के साथ संचयी क्यों पेश किए जाते हैं?

संचयी स्वतंत्र यादृच्छिक चरों पर जुड़ते हैं, इसलिए वे योगों के लिए आघूर्णों की तुलना में अधिक सरलता से व्यवहार करते हैं; दूसरा संचयी प्रसरण है और उच्च संचयी सामान्यता से विचलन को मापते हैं, जिनमें से सभी सामान्य वितरण के लिए दूसरे क्रम से ऊपर लुप्त हो जाते हैं।