मार्कोव श्रृंखला वर्गीकरण और पुनरावृत्ति

मार्कोव श्रृंखला की अवस्थाओं का वर्गीकरण यह दर्शाता है कि कौन सी अवस्थाएँ अनंत बार देखी जाती हैं और कौन सी अंततः छोड़ दी जाती हैं, जिससे राज्य स्थान को साझा दीर्घकालिक व्यवहार वाले संचारित वर्गों में विभाजित किया जाता है।

Definition

राज्य वर्गीकरण एक मार्कोव श्रृंखला का विश्लेषण उन अवस्थाओं को समूहित करके करता है जो एक-दूसरे तक पहुँच सकती हैं, उन्हें संचारित वर्गों में विभाजित करता है और प्रत्येक अवस्था को पुनरावर्ती के रूप में लेबल करता है यदि श्रृंखला एक की संभावना के साथ उस पर लौटती है या क्षणिक के रूप में यदि कभी वापस न लौटने की सकारात्मक संभावना है।

Scope

यह विषय अभिगम्यता और संचार संबंधों, राज्य स्थान का संचारित वर्गों में अपघटन, अपरिवर्तनीयता, पुनरावृत्ति-क्षणिकता द्वंद्व और उसके मानदंड, सकारात्मक बनाम शून्य पुनरावृत्ति, आवधिकता, और इन गुणों को निर्धारित करने के लिए प्रथम-मार्ग और हिटिंग संभावनाओं के उपयोग को शामिल करता है।

Core questions

• दो अवस्थाएँ कब संचार करती हैं, और यह राज्य स्थान को कैसे विभाजित करता है?
• एक पुनरावर्ती अवस्था को एक क्षणिक अवस्था से क्या अलग करता है?
• सकारात्मक पुनरावृत्ति को शून्य पुनरावृत्ति से कैसे अलग किया जाता है?
• श्रृंखला के दीर्घकालिक व्यवहार में आवधिकता क्या भूमिका निभाती है?

Key theories

पुनरावृत्ति-क्षणिकता द्वंद्व

एक अवस्था पुनरावर्ती होती है यदि और केवल यदि वापसी की अपेक्षित संख्या अनंत हो, समतुल्य रूप से इसकी वापसी संभावनाओं का योग अपसारी हो; पुनरावृत्ति और क्षणिकता वर्ग गुण हैं जो संचार करने वाली सभी अवस्थाओं द्वारा साझा किए जाते हैं।

सकारात्मक बनाम शून्य पुनरावृत्ति

एक पुनरावर्ती अवस्था सकारात्मक पुनरावर्ती होती है जब अपेक्षित वापसी का समय परिमित होता है और शून्य पुनरावर्ती होती है जब यह अनंत होता है; एक स्थिर संभाव्यता वितरण के अस्तित्व के लिए सकारात्मक पुनरावृत्ति आवश्यक है।

Clinical relevance

पुनरावृत्ति का निर्धारण यह तय करता है कि क्या एक यादृच्छिक चाल अपने मूल पर लौटती है, क्या एक कतार अनंत बार खाली होती है, और क्या एक जनसंख्या प्रक्रिया बनी रहती है या अवशोषित हो जाती है; पोल्या का उत्कृष्ट परिणाम कि सरल सममित यादृच्छिक चाल एक और दो आयामों में पुनरावर्ती है लेकिन तीन या अधिक में क्षणिक है, एक विहित परिणाम है।

History

पुनरावृत्ति का प्रश्न पोल्या के 1921 के पूर्णांक जालों पर यादृच्छिक चालों के विश्लेषण से स्पष्ट हुआ, और पुनरावृत्ति और क्षणिकता का व्यवस्थित वर्ग-आधारित सिद्धांत बीसवीं सदी के मध्य में चुंग, फेलर और अन्य द्वारा आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले रूप में विकसित किया गया।

Key figures

• George Polya
• Andrey Markov
• Kai Lai Chung

Seminal works

• norris1997

Frequently asked questions

किसी अवस्था के पुनरावर्ती होने का क्या अर्थ है?

उस अवस्था से शुरू होकर, श्रृंखला एक की संभावना के साथ उस पर लौटती है, और इसलिए अनंत बार लौटती है; एक क्षणिक अवस्था वह है जिसे श्रृंखला सकारात्मक संभावना के साथ हमेशा के लिए छोड़ सकती है।

यादृच्छिक चाल पुनरावृत्ति के लिए आयाम क्यों मायने रखता है?

सरल सममित यादृच्छिक चाल एक और दो आयामों में पुनरावर्ती है लेकिन तीन और उच्चतर में क्षणिक है, क्योंकि मूल पर लौटने की संभावना इस बात पर निर्भर करती है कि चाल कितनी जल्दी बच सकती है, जो आयाम के साथ बढ़ती है।