प्रायिकता के मूल सिद्धांत

प्रायिकता के मूल सिद्धांत वे बुनियादी नियम हैं जो घटनाओं की संभावनाओं के संयोजन और यादृच्छिक चरों के वर्णन को नियंत्रित करते हैं। वे परिभाषित करते हैं कि प्रायिकता क्या है, घटनाओं की प्रायिकताओं को कैसे जोड़ा और गुणा किया जाता है, और किसी यादृच्छिक मात्रा को उसके वितरण, प्रत्याशा और प्रसरण द्वारा कैसे संक्षेपित किया जाता है — ये वे मूलभूत खंड हैं जिन पर बाद की हर सांख्यिकीय विधि निर्भर करती है।

Definition

प्रायिकता 0 और 1 के बीच की एक संख्या है जिसे किसी घटना को घटित होने की कितनी संभावना है, यह व्यक्त करने के लिए सौंपा जाता है, जो गैर-नकारात्मकता, प्रतिदर्श समष्टि पर कुल प्रायिकता एक, और परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए योज्यता के अभिगृहीतों का पालन करती है।

Scope

यह प्रविष्टि प्रतिदर्श समष्टि (sample space), घटनाओं, प्रायिकता के अभिगृहीतों, योग और गुणन नियमों, पूरक घटनाओं और प्रत्याशा तथा प्रसरण के साथ यादृच्छिक चर की अवधारणा को शामिल करती है। यह असतत और सतत यादृच्छिक चरों के बीच के अंतर को प्रस्तुत करती है। यह प्रायिकता को एक पद्धतिगत आधार के रूप में मानती है और नैदानिक ​​सिफारिशें नहीं देती है।

Core questions

• प्रतिदर्श समष्टि क्या है और घटना किसे माना जाता है?
• संयुक्त घटनाओं की प्रायिकताएँ कैसे जुड़ती या गुणा होती हैं?
• यादृच्छिक चर क्या है और इसके वितरण को कैसे संक्षेपित किया जाता है?
• प्रत्याशा और प्रसरण को कैसे परिभाषित और व्याख्या किया जाता है?

Key concepts

• प्रतिदर्श समष्टि
• घटना
• प्रायिकता के अभिगृहीत
• योग नियम
• गुणन नियम
• पूरक घटना
• यादृच्छिक चर
• प्रत्याशा (माध्य)
• प्रसरण और मानक विचलन

Mechanisms

प्रतिदर्श समष्टि एक यादृच्छिक प्रक्रिया के सभी संभावित परिणामों को सूचीबद्ध करता है, और एक घटना इसका एक उपसमुच्चय है। कोलमोगोरोव के अभिगृहीत यह आवश्यक करते हैं कि प्रत्येक घटना की एक गैर-नकारात्मक प्रायिकता हो, कि पूरे प्रतिदर्श समष्टि की प्रायिकता एक हो, और परस्पर अनन्य घटनाओं के संघ की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं का योग हो। इनसे पूरक नियम (किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता एक माइनस उसकी प्रायिकता है), दो घटनाओं के संघ के लिए सामान्य योग नियम, और संयुक्त घटना के लिए गुणन नियम निकलते हैं। एक यादृच्छिक चर प्रत्येक परिणाम को एक संख्या निर्दिष्ट करता है; इसकी प्रत्याशा उन संख्याओं का प्रायिकता-भारित औसत है, और इसका प्रसरण प्रत्याशा के आसपास उनके फैलाव को मापता है। ये परिभाषाएँ असतत चरों पर लागू होती हैं, जिनके मानों को सूचीबद्ध किया जा सकता है, और सतत चरों पर, जिन्हें घनत्व द्वारा वर्णित किया जाता है।

Clinical relevance

प्रायिकता के नियम यह नियंत्रित करते हैं कि निदान, जोखिमों और परीक्षण परिणामों के बारे में अनिश्चितताएँ कैसे संयोजित होती हैं, इसलिए उनकी एक कार्यसाधक समझ स्वास्थ्य विज्ञान में मात्रात्मक साक्ष्य की व्याख्या का समर्थन करती है। यह प्रविष्टि पद्धतिगत पृष्ठभूमि है और व्यक्तिगत नैदानिक ​​निर्णयों को निर्देशित नहीं करती है।

History

प्रारंभिक प्रायिकता सत्रहवीं शताब्दी में संयोग के खेलों पर हुए पत्राचार से उत्पन्न हुई और बर्नौली तथा लाप्लास द्वारा व्यवस्थित की गई। आधुनिक अभिगृहीतीय आधार, जो प्रायिकता को प्रतिदर्श समष्टि पर एक माप के रूप में परिभाषित करता है, को 1933 में आंद्रेई कोलमोगोरोव द्वारा स्थापित किया गया था, जिसने इस क्षेत्र को एकीकृत किया और आज सांख्यिकी में उपयोग किए जाने वाले कठोर आधार को प्रदान किया।

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Pierre-Simon Laplace
• Jacob Bernoulli

Seminal works

• kolmogorov-1956
• ross-2014
• rosner-2015

Frequently asked questions

दो घटनाओं के परस्पर अनन्य होने का क्या अर्थ है?

दो घटनाएँ परस्पर अनन्य होती हैं यदि वे दोनों एक साथ घटित नहीं हो सकतीं; ऐसी घटनाओं के लिए, किसी एक के घटित होने की प्रायिकता केवल उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग होती है।

प्रत्याशा और प्रसरण में क्या अंतर है?

प्रत्याशा एक यादृच्छिक चर का दीर्घकालिक औसत मान है, जबकि प्रसरण यह मापता है कि इसके मान उस औसत के आसपास कितनी व्यापक रूप से फैले हुए हैं; प्रसरण का वर्गमूल मानक विचलन होता है।