द्विपद और पॉइसन वितरण

द्विपद और पॉइसन वितरण बायोस्टैटिस्टिक्स में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले दो असतत वितरण हैं। द्विपद एक निश्चित संख्या में स्वतंत्र हाँ/नहीं परीक्षणों में सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है, जबकि पॉइसन एक निश्चित समय या स्थान अंतराल में होने वाली घटनाओं की संख्या का वर्णन करता है जब घटनाएँ एक स्थिर औसत दर पर होती हैं। दोनों ही गणनाओं का मॉडल बनाते हैं, जो स्वास्थ्य डेटा में व्यापक हैं।

Definition

द्विपद वितरण एक निश्चित संख्या n में स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की एक दी गई संख्या प्राप्त करने की संभावना देता है, प्रत्येक में सफलता की संभावना p होती है; पॉइसन वितरण एक निश्चित अंतराल में घटनाओं की एक दी गई संख्या की संभावना देता है जब घटनाएँ एक स्थिर औसत दर पर स्वतंत्र रूप से होती हैं।

Scope

यह प्रविष्टि द्विपद और पॉइसन वितरण की मान्यताओं, मापदंडों, माध्य और प्रसरण, प्रत्येक द्वारा वर्णित सेटिंग्स, उनके बीच संबंध और उनके सामान्य सन्निकटन को शामिल करती है। यह स्वास्थ्य अनुसंधान में अनुपात और घटना दरों के लिए उनके उपयोग को दर्शाती है। यह एक पद्धतिगत संदर्भ है न कि नैदानिक मार्गदर्शन।

Core questions

• कौन सी धारणाएँ द्विपद स्थिति बनाम पॉइसन स्थिति को परिभाषित करती हैं?
• प्रत्येक वितरण का माध्य और प्रसरण कैसे निर्धारित किया जाता है?
• पॉइसन वितरण द्विपद का अनुमान कब लगाता है?
• प्रत्येक को सामान्य वितरण द्वारा कब अनुमानित किया जा सकता है?

Key concepts

• बर्नौली परीक्षण
• परीक्षणों की संख्या n और सफलता की संभावना p
• द्विपद माध्य और प्रसरण
• पॉइसन दर पैरामीटर
• पॉइसन माध्य और प्रसरण की समानता
• द्विपद का पॉइसन सन्निकटन
• सामान्य सन्निकटन
• गणना, अनुपात और घटना दरें

Mechanisms

एक द्विपद वितरण एक निश्चित संख्या n में स्वतंत्र परीक्षणों से उत्पन्न होता है, प्रत्येक एक बर्नौली परीक्षण होता है जिसमें सफलता की समान संभावना p होती है; सफलताओं की गणना का माध्य np और प्रसरण np(1-p) होता है। पॉइसन वितरण द्विपद की सीमा के रूप में उत्पन्न होता है जब n बड़ा होता है और p छोटा होता है जबकि उनका गुणनफल (अपेक्षित गणना) मध्यम रहता है, इसलिए यह कई अवसरों पर दुर्लभ घटनाओं का मॉडल बनाता है; इसमें एक एकल पैरामीटर होता है जो इसके माध्य और इसके प्रसरण दोनों के बराबर होता है, जो एक स्थिर दर पर होने वाली घटनाओं को दर्शाता है। जब n बड़ा होता है, या जब पॉइसन माध्य बड़ा होता है, तो दोनों वितरणों को एक सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, यही कारण है कि अनुपात और दरों के लिए तरीके अक्सर सामान्य-आधारित विश्वास अंतराल और परीक्षणों को उधार लेते हैं। स्वास्थ्य अनुसंधान में द्विपद अनुपातों के विश्लेषण को रेखांकित करता है, जैसे कि उपचार का जवाब देने वाले रोगियों की संख्या, जबकि पॉइसन गणना और घटना दरों को रेखांकित करता है, जैसे कि एक निश्चित अवधि में एक आबादी में नए मामलों की संख्या।

Clinical relevance

द्विपद और पॉइसन मॉडल स्वास्थ्य साहित्य में रिपोर्ट किए गए अनुपात और घटना दरों के विश्लेषण को रेखांकित करते हैं, इसलिए यह पहचानना कि कौन सा लागू होता है, प्रतिक्रिया दरों और रोग की घटनाओं पर परिणामों के महत्वपूर्ण पठन में सहायता करता है। यह प्रविष्टि पद्धतिगत है और व्यक्तिगत देखभाल को निर्देशित नहीं करती है।

Epidemiology

पॉइसन वितरण व्यक्ति-समय पर जमा होने वाली अपेक्षाकृत दुर्लभ घटनाओं की गणना के लिए प्राकृतिक मॉडल है, और इसलिए यह महामारी विज्ञान में घटना दरों के विश्लेषण के लिए मौलिक है; द्विपद जोखिमों और अनुपातों के विश्लेषण को रेखांकित करता है, जैसे कि एक बंद समूह में संचयी घटना।

History

द्विपद वितरण का अध्ययन जैकब बर्नौली ने 1713 में प्रकाशित अपने दोहराए गए परीक्षणों के विश्लेषण में किया था, और डी मोइव्रे ने बाद में इसका सामान्य सन्निकटन प्राप्त किया। सिमोन डेनिस पॉइसन ने 1837 में दुर्लभ घटनाओं के लिए द्विपद की सीमा के रूप में अपने नाम वाले वितरण को प्रस्तुत किया। जब सांख्यिकी को चिकित्सा और सार्वजनिक स्वास्थ्य पर लागू किया गया तो दोनों गणनाओं के मॉडलिंग के लिए मानक उपकरण बन गए।

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Siméon Denis Poisson
• Abraham de Moivre

Seminal works

• rosner-2015
• armitage-2002
• ross-2014

Frequently asked questions

मुझे कैसे पता चलेगा कि द्विपद या पॉइसन मॉडल का उपयोग करना है?

जब स्वतंत्र हाँ/नहीं परीक्षणों की एक निश्चित संख्या हो और आप सफलताओं की गणना करते हों तो द्विपद का उपयोग करें; जब आप समय या स्थान के एक निरंतर अंतराल पर लगभग स्थिर दर पर होने वाली घटनाओं की गणना करते हों, जिसमें परीक्षणों की कोई निश्चित संख्या न हो, तो पॉइसन का उपयोग करें।

पॉइसन वितरण का माध्य इसके प्रसरण के बराबर क्यों होता है?

यह दुर्लभ घटनाओं के लिए द्विपद की सीमा के रूप में वितरण की संरचना से आता है; यह समानता एक व्यावहारिक जाँच भी है, क्योंकि गणना डेटा जिसका प्रसरण उसके माध्य (ओवरडिस्पर्शन) से बहुत अधिक है, एक साधारण पॉइसन मॉडल में फिट नहीं हो सकता है।