प्रायिकता और प्रायिकता वितरण

प्रायिकता अनिश्चितता को मापने के लिए गणितीय भाषा है, और प्रायिकता वितरण यह वर्णन करते हैं कि एक यादृच्छिक चर के संभावित मान कैसे फैले हुए हैं। साथ मिलकर वे सैद्धांतिक आधार बनाते हैं जिस पर स्वास्थ्य विज्ञान में सांख्यिकीय अनुमान आधारित है: प्रत्येक विश्वास अंतराल, पी-मान, और जोखिम अनुमान अंततः इस बात के प्रायिकता मॉडल पर निर्भर करता है कि डेटा कैसे उत्पन्न हो सकता है।

Definition

प्रायिकता घटनाओं को 0 और 1 के बीच संख्याएँ निर्दिष्ट करती है ताकि यह व्यक्त किया जा सके कि वे कितनी संभावित हैं; एक प्रायिकता वितरण एक फ़ंक्शन है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मानों की प्रायिकताओं को निर्दिष्ट करता है।

Scope

यह क्षेत्र पाठक को प्रायिकता के मुख्य विचारों और बायोस्टैटिस्टिक्स में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले वितरणों से परिचित कराता है। इसमें प्रायिकता के मूल नियम, सशर्त प्रायिकता और स्वतंत्रता, सामान्य वितरण, गणना और घटनाओं के लिए द्विपद और पॉइसन वितरण, और नमूना वितरण शामिल हैं जो केंद्रीय सीमा प्रमेय के माध्यम से एक नमूने को जनसंख्या से जोड़ते हैं। यह कार्यप्रणाली का एक संदर्भ-शैक्षणिक अवलोकन है, न कि नैदानिक मार्गदर्शन।

Sub-topics

• द्विपद और पॉइसन वितरण
• सप्रतिबंध प्रायिकता और स्वतंत्रता
• सामान्य वितरण
• प्रायिकता के मूल सिद्धांत
• प्रतिचयन वितरण और केंद्रीय सीमा प्रमेय

Core questions

• अनिश्चितता को कैसे मापा जाता है ताकि डेटा के बारे में औपचारिक रूप से तर्क किया जा सके?
• कौन सा वितरण किसी दिए गए प्रकार के माप या गणना का वर्णन करता है?
• एक नमूना आँकड़े का व्यवहार अंतर्निहित जनसंख्या से कैसे संबंधित है?
• कुल मात्राओं में सामान्य वितरण इतनी बार क्यों उत्पन्न होता है?

Key concepts

• यादृच्छिक चर
• नमूना स्थान और घटनाएँ
• प्रायिकता अभिगृहीत
• सशर्त प्रायिकता और स्वतंत्रता
• असतत और सतत वितरण
• अपेक्षा और विचरण
• नमूना वितरण
• केंद्रीय सीमा प्रमेय

Mechanisms

एक प्रायिकता मॉडल संभावित परिणामों के एक नमूना स्थान को निर्दिष्ट करता है और अभिगृहीतों (गैर-नकारात्मकता, कुल प्रायिकता एक, परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए योज्यता) के अनुरूप प्रायिकताएँ निर्दिष्ट करता है। यादृच्छिक चर परिणामों को संख्याओं में मैप करते हैं, और उनके वितरण उन संख्याओं की प्रायिकताओं का सारांश प्रस्तुत करते हैं, जिन्हें माध्य (अपेक्षा) और विचरण जैसी मात्राओं द्वारा चित्रित किया जाता है। द्विपद और पॉइसन जैसे असतत वितरण घटनाओं की गणना को मॉडल करते हैं; निरंतर सामान्य वितरण कई मापी गई मात्राओं को मॉडल करता है और, केंद्रीय सीमा प्रमेय के माध्यम से, योगों और औसतों के वितरण का अनुमान लगाता है। अनुमानित सांख्यिकी अपने नमूना वितरण से एक अवलोकन किए गए आँकड़े को एक ड्रा के रूप में मानकर काम करती है।

Clinical relevance

प्रायिकता वितरण स्वास्थ्य डेटा का सारांश प्रस्तुत करने और अध्ययनों से अनुमान लगाने के लिए उपयोग की जाने वाली सांख्यिकीय विधियों को रेखांकित करते हैं, इसलिए उन्हें समझना मात्रात्मक साहित्य के महत्वपूर्ण पठन का समर्थन करता है। यह प्रविष्टि ऐसे विश्लेषणों के कार्यप्रणालीगत आधार का वर्णन करती है और व्यक्तिगत निदान या उपचार निर्णयों का आधार नहीं है।

History

गणितीय प्रायिकता सत्रहवीं शताब्दी में संयोग के खेलों के विश्लेषण से विकसित हुई और बर्नौली, लाप्लास, गॉस और पॉइसन द्वारा वितरणों के एक सामान्य सिद्धांत में विकसित की गई। 1930 के दशक में कोलमोगोरोव के अभिगृहीतीय सूत्रीकरण ने प्रायिकता को एक कठोर आधार पर रखा। बीसवीं शताब्दी के दौरान ये उपकरण सांख्यिकीय अनुमान का आधार बन गए, और बायोस्टैटिस्टिक्स ने चिकित्सा और सार्वजनिक-स्वास्थ्य अनुसंधान में माप और गणना को मॉडल करने के लिए उन्हें अपनाया।

Key figures

• Pierre-Simon Laplace
• Carl Friedrich Gauss
• Siméon Denis Poisson
• Jacob Bernoulli
• Andrey Kolmogorov

Seminal works

• altman-bland-1995-normal
• rosner-2015
• ross-2014

Frequently asked questions

बायोस्टैटिस्टिक्स पाठ्यक्रम प्रायिकता वितरणों पर इतना समय क्यों खर्च करते हैं?

क्योंकि सांख्यिकीय अनुमान अवलोकन किए गए डेटा की तुलना करके काम करता है कि एक प्रायिकता मॉडल क्या भविष्यवाणी करता है; वितरण एक नमूने और जनसंख्या के बारे में एक कथन के बीच का सेतु है, इसलिए विश्वास अंतरालों और परीक्षणों की वैधता एक उपयुक्त वितरण चुनने पर निर्भर करती है।

प्रायिकता और प्रायिकता वितरण में क्या अंतर है?

एक प्रायिकता एक एकल संख्या है जो यह वर्णन करती है कि एक घटना कितनी संभावित है, जबकि एक प्रायिकता वितरण एक साथ एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों में प्रायिकताओं को निर्दिष्ट करता है।