Martingale và Tích phân ngẫu nhiên

Các martingale thời gian liên tục, với phương sai bậc hai và sự phân tách thành các phần dự đoán được và martingale, là các hàm tích phân mà dựa vào đó các tích phân ngẫu nhiên được xây dựng.

Definition

Trong thời gian liên tục, một martingale là một quá trình mà các gia số kỳ vọng có điều kiện của nó bằng không; phương sai bậc hai của nó đo lường sự biến động tích lũy, phân tích Doob-Meyer chia submartingale thành một phần tăng dự đoán được và một martingale, và các cấu trúc này định nghĩa tích phân ngẫu nhiên đối với semimartingale.

Scope

Chủ đề này bao gồm các martingale thời gian liên tục và martingale cục bộ, phân tích Doob-Meyer của các submartingale, phương sai bậc hai và quá trình ngoặc, semimartingale như là lớp tích phân tự nhiên lớn nhất, việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên đối với một martingale, và định lý biểu diễn martingale thể hiện các martingale Brownian dưới dạng tích phân ngẫu nhiên.

Core questions

• Các martingale thời gian liên tục và martingale cục bộ khái quát hóa trường hợp rời rạc như thế nào?
• Phương sai bậc hai là gì và tại sao nó lại quan trọng đối với tích phân ngẫu nhiên?
• Phân tích Doob-Meyer xác định phần martingale của một quá trình như thế nào?
• Tại sao semimartingale là lớp tích phân tự nhiên, và biểu diễn martingale mang lại điều gì?

Key theories

Phân tích Doob-Meyer và phương sai bậc hai

Một submartingale phân tích duy nhất thành một martingale cục bộ cộng với một quá trình tăng dự đoán được, và phương sai bậc hai của một martingale cục bộ liên tục là quá trình dự đoán được mà việc trừ đi nó làm cho bình phương của nó trở thành một martingale, cung cấp thước đo phương sai cho các tích phân ngẫu nhiên.

Tích phân ngẫu nhiên và biểu diễn martingale

Tích phân ngẫu nhiên của một quá trình dự đoán được đối với một martingale bình phương khả tích bản thân nó là một martingale với phương sai bậc hai có thể tính toán được, và định lý biểu diễn martingale cho thấy mọi martingale Brownian là một tích phân như vậy, là cơ sở của việc phòng ngừa rủi ro trong tài chính.

Clinical relevance

Tích phân ngẫu nhiên dựa trên martingale là nền tảng toán học của tích phân Ito và các phương trình vi phân ngẫu nhiên, của lý thuyết lọc, và của định giá không chênh lệch giá và phòng ngừa rủi ro trong tài chính toán học, nơi định lý biểu diễn martingale mang lại các chiến lược sao chép cho các chứng khoán phái sinh.

History

Doob đã đưa ra giả thuyết về sự phân tích mà Meyer đã chứng minh vào năm 1962, trường phái Strasbourg do Meyer dẫn đầu đã phát triển lý thuyết tổng quát về semimartingale và tích phân ngẫu nhiên vào những năm 1960 và 1970, và công trình của Kunita và Watanabe về các martingale bình phương khả tích đã thống nhất tích phân đối với các tích phân martingale tổng quát.

Key figures

• Joseph Doob
• Paul-Andre Meyer
• Kiyosi Ito
• Hiroshi Kunita

Seminal works

• karatzasShreve1991

Frequently asked questions

Tại sao lại tích phân đối với martingale thay vì các hàm thông thường?

Các đường đi của martingale quá bất thường để tích phân theo nghĩa thông thường, nhưng sự biến động được kiểm soát của chúng, được đo bằng phương sai bậc hai, cho phép một tích phân xác suất mà bản thân nó là một martingale và là nền tảng của giải tích ngẫu nhiên.

Phương sai bậc hai là gì?

Đó là giới hạn của tổng bình phương các gia số của một quá trình trên các phân hoạch mịn hơn; đối với các đường đi martingale, nó thường khác không và hoạt động như đồng hồ phương sai tự nhiên cho tích phân ngẫu nhiên.