Brown Hareketi
Brown hareketi veya Wiener süreci, sayısız küçük bağımsız adımın ölçekleme limiti olarak ortaya çıkan sürekli zamanlı rastgele yürüyüştür; yolları her yerde sürekli ancak hiçbir yerde türevlenemezdir.
Tanım
Brown hareketi, ayrık aralıklar üzerindeki artımları bağımsız ve ortalaması sıfır, varyansı aralığın uzunluğuna eşit olan normal dağılımlı, sürekli örnek yollara sahip, sıfırdan başlayan gerçek değerli bir stokastik süreçtir.
Kapsam
Bu konu, Brown hareketinin sürekli yollara, bağımsız durağan artımlara ve Gauss dağılımlarına sahip bir süreç olarak tanımlayıcı özelliklerini, Wiener'ın inşası ve Donsker'ın değişmezlik ilkesi aracılığıyla varlığını, süreklilik, hiçbir yerde türevlenemezlik ve kuadratik varyasyon gibi yol özelliklerini, güçlü Markov özelliğini ve yansıma ilkesini, tekrarlanan logaritma yasasını ve Brown hareketinin sürekli bir martingal ve Gauss süreci olarak rolünü kapsamaktadır.
Temel sorular
- Stokastik süreçler arasında Brown hareketini benzersiz bir şekilde hangi özellikler karakterize etmektedir?
- Sürekli Brown yollarına sahip bir sürecin varlığı nasıl kanıtlanmaktadır?
- Brown yollarının dikkat çekici analitik özellikleri nelerdir?
- Yansıma ilkesi, maksimumun ve vurma zamanlarının dağılımını nasıl vermektedir?
Anahtar kavramlar
- Wiener süreci
- bağımsız Gauss artımları
- hiçbir yerde türevlenemeyen yollar
- kuadratik varyasyon
- yansıma ilkesi
Temel kuramlar
- Donsker'ın değişmezlik ilkesi
- Uygun şekilde yeniden ölçeklendirilmiş rastgele yürüyüşler, sürekli yollar uzayında Brown hareketine dağılımda yakınsamaktadır; bu, toplanmış küçük bağımsız etkilerin limiti olarak Brown hareketinin evrenselliğini açıklayan fonksiyonel merkezi limit teoremidir.
- Yol özellikleri ve yansıma ilkesi
- Brown yolları neredeyse kesinlikle sürekli, hiçbir yerde türevlenemeyen ve geçen zamana eşit kuadratik varyasyona sahiptir; yansıma ilkesi ise güçlü Markov özelliğini kullanarak anlık maksimumun ve ilk geçiş zamanlarının dağılımlarını kapalı formda vermektedir.
Klinik önem
Brown hareketi, fizikte ve kimyada parçacıkların difüzyonunu, Black-Scholes finans teorisinde varlık fiyatlarının gürültülü evrimini, mühendislikte termal ve elektronik gürültüyü, kirleticilerin veya genlerin rastgele yayılımını modellemektedir; ayrıca daha genel difüzyonların ve stokastik integrallerin inşa edildiği bir yapı taşı olarak da işlev görmektedir.
Tarihçe
Robert Brown, 1827'de polen tanelerinin düzensiz hareketini gözlemlemiştir ve Einstein ile Smoluchowski bunu 1905 ve 1906 yıllarında fiziksel olarak açıklamışlardır. Norbert Wiener, 1923'te titiz matematiksel inşasını vermiş, Levy ve diğerleri ise yollarının ayrıntılı teorisini geliştirmişlerdir.
Öne çıkan isimler
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Paul Levy
İlgili konular
Temel eserler
- karatzas1991
Sıkça sorulan sorular
- Brown yolları neden sürekli ancak türevlenemezdir?
- Herhangi bir küçük aralıkta artım, aralık uzunluğunun karekökü mertebesindedir; bu durum yolu sürekli tutarken, fark oranlarının patlamasına neden olmakta ve dolayısıyla hiçbir noktada türev mevcut olmamaktadır.
- Brown hareketi rastgele yürüyüşle nasıl ilişkilidir?
- Brown hareketi, rastgele yürüyüşün ölçekleme limitidir: basit bir rastgele yürüyüş, zamanda hızlandırılır ve uzayda eşleşen oranlarda küçültülürse, yörüngesi Brown hareketine yakınsamaktadır; bu durum Donsker'ın değişmezlik ilkesiyle kesinleştirilmektedir.