İto İntegrali
İto integrali, Brown yollarının sonsuz varyasyona sahip olması nedeniyle sıradan kalkülüsün ele alamadığı bir görev olan, rastgele bir süreci Brown hareketine karşı entegre etmeyi, bu yolların sonlu kuadratik varyasyonlarını ve akıllıca seçilmiş değerlendirme noktalarını kullanarak anlamlı kılmaktadır.
Tanım
Öngörülebilir bir sürecin Brown hareketine karşı İto integrali, integrantı her alt aralığın sol uç noktasında değerlendiren yaklaşık toplamların ortalama karedeki limitidir; bu integral önce basit integrantlar için tanımlanmış ve İto izometrisi ile genişletilmiştir.
Kapsam
Konu, İto integralinin önce basit öngörülebilir integrantlar için inşasını ve ardından kare-integrallenebilir olanlar için İto izometrisi aracılığıyla genişletilmesini, sürekli yerel martingallere genişletilmesini, integralin martingale özelliğini ve kuadratik varyasyonunu, İto ve Stratonovich konvansiyonları arasındaki karşıtlığı ve öngörülebilirliğin ve sol uç noktaların öngörücü olmayan seçiminin rolünü kapsamaktadır.
Temel sorular
- Brown hareketine karşı entegrasyon neden yeni bir tanım gerektirmektedir?
- İto izometrisi yapının nasıl çalışmasını sağlamaktadır?
- İntegrant neden sol uç noktada değerlendirilmelidir ve öngörülebilirlik neyi sağlamaktadır?
- İto integrali, Stratonovich integralinden nasıl farklılık göstermektedir?
Anahtar kavramlar
- öngörülebilir integrant
- İto izometrisi
- kuadratik varyasyon
- martingale özelliği
- İto ve Stratonovich karşılaştırması
Temel kuramlar
- İto izometrisi ve yapısı
- Kare-integrallenebilir öngörülebilir integrantlar için İto integralinin ortalama karesi, karelenmiş integrantın beklenen zaman integraline eşittir; bu bir izometridir ve integralin basit süreçler için tanımlanmasına ve tamamlama yoluyla geniş bir integrant sınıfına genişletilmesine olanak tanır.
- İntegralin martingale özelliği
- Uygun öngörülebilir bir sürecin Brown hareketine karşı İto integrali, karelenmiş integrantın zaman integrali ile verilen kuadratik varyasyona sahip sürekli bir martingale'dir; bu da sol uç nokta, öngörücü olmayan konvansiyonu doğal hale getirmektedir.
Klinik önem
İto integrali, matematiksel finansta sürekli yeniden dengelenen bir ticaret stratejisinden elde edilen kazançları, fiziksel ve biyolojik sistem modellerindeki gürültünün birikmiş etkisini ve stokastik filtrelemedeki yenilikler terimini temsil eden matematiksel bir nesnedir; martingale özelliği ise arbitrajsız fiyatlandırmanın analitik temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Kiyosi Ito, 1940'larda stokastik integrali, Brown hareketi tarafından yönlendirilen diferansiyel denklemlere anlam kazandırmak için tanımlamıştır; Stratonovich ise daha sonra sıradan zincir kuralı davranışına sahip alternatif bir konvansiyon sunmuştur. Martingale özelliğine sahip İto yapısı, olasılık ve finans için standart haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Kiyosi Ito
- Ruslan Stratonovich
- Henry McKean
İlgili konular
Temel eserler
- karatzas1991
Sıkça sorulan sorular
- İntegrant neden sol uç noktada değerlendirilmektedir?
- Sol uç noktanın kullanılması, integrantın öngörücü olmamasını sağlar, böylece Brown hareketinin gelecekteki artışına bakamaz; bu durum, ortaya çıkan integrali bir martingale yapar ve stratejilerin ve kontrollerin nedensel doğasını yansıtır.
- İto integrali, Stratonovich integralinden nasıl farklılık göstermektedir?
- Stratonovich integrali, integrantı orta noktada değerlendirir ve sıradan zincir kuralına uyar ancak bir martingale değildir; İto integrali ise sol uç noktayı kullanır, bir martingale'dir ve değiştirilmiş İto zincir kuralına uyar. İkisi, kuadratik varyasyonu içeren bir düzeltme terimiyle farklılık göstermektedir.