Levy Süreçleri
Bir Levy süreci, durağan bağımsız artımlara ve olasılıkta sürekli yollara sahiptir; Brown hareketini, Poisson sürecini ve bunların kombinasyonlarını sıçramalı tek bir ailede birleştirmektedir.
Tanım
Bir Levy süreci, sıfırdan başlayan, durağan ve bağımsız artımlara sahip olup olasılıkta sürekli olan bir stokastik süreçtir; bu nedenle herhangi bir aralıktaki artımı sonsuz bölünebilir bir dağılıma sahiptir ve karakteristik üssü Levy-Khintchine formülü ile verilmektedir.
Kapsam
Bu konu, Levy süreçlerinin durağan bağımsız artımlar aracılığıyla tanımını, sonsuz bölünebilir dağılımlarla olan ilişkilerini, süreci sürüklenme (drift), Gauss ve sıçrama (jump) kısımlarına ayıran Levy-Khintchine formülünü, örnek yolların Levy-Ito ayrışımını, subordinatörleri ve kararlı süreçleri, ayrıca sıçramalı süreçler için stokastik hesap ve uygulamalarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir Levy sürecini ne tanımlar ve onu sonsuz bölünebilir dağılımlarla nasıl ilişkilendirir?
- Levy-Khintchine formülü sürüklenmeyi (drift), difüzyonu ve sıçramaları nasıl kodlar?
- Levy-Ito ayrışımı örnek yolları nasıl tanımlar?
- Subordinatörler ve kararlı süreçler gibi hangi özel Levy süreçleri ortaya çıkar?
Temel kuramlar
- Levy-Khintchine formula
- Bir Levy sürecinin herhangi bir zamandaki karakteristik fonksiyonu, doğrusal bir sürüklenme (drift), bir Gauss varyansı ve sıçramaları yöneten bir Levy ölçüsüne karşı bir integralden oluşan bir karakteristik üssün üstelidir; bu da yasanın tam bir tanımını vermektedir.
- Levy-Ito decomposition
- Her Levy süreci, deterministik bir sürüklenme (drift), bağımsız bir Brown hareketi ve sıçramaların bir Poisson rastgele ölçüsünden inşa edilmiş bağımsız bir saf sıçrama (pure-jump) kısmına ayrılır; bu da yollarının sürekli ve süreksiz bileşenlerini ayırmaktadır.
Klinik önem
Levy süreçleri, ani sıçramalarla varlık getirilerini, sigorta risk rezervlerini, fizikteki anomali difüzyonu ve ani artışlarla kuyruk girdilerini modellemektedir; nadir büyük hareketlerin önemli olduğu her yerde tamamen Gauss modellerine göre daha gerçekçi alternatifler sunmaktadır.
Tarihçe
De Finetti, 1920'lerde sonsuz bölünebilir dağılımları tanıtmıştır. Levy ve Khinchin, 1934 civarında karakteristik üs gösterimini türetmiş, Ito'nun yolları sürekli ve sıçramalı kısımlara ayırması ise adlarını taşıyan yapısal teoriyi tamamlamıştır. Bu süreç, 1990'lardan bu yana matematiksel finans alanından yenilenen bir ilgiyle karşılaşmıştır.
Öne çıkan isimler
- Paul Levy
- Aleksandr Khinchin
- Kiyosi Ito
- Bruno de Finetti
İlgili konular
Temel eserler
- bertoin1996
- sato1999
Sıkça sorulan sorular
- Brown hareketini ve Poisson sürecini birleştiren nedir?
- Her ikisi de durağan bağımsız artımlara sahip Levy süreçleridir; Brown hareketi sürekli Gauss durumudur ve Poisson süreci saf sıçrama (pure-jump) durumudur. Genel Levy süreçleri ise sürüklenme (drift), difüzyon ve sıçramaları birleştirmektedir.
- Levy ölçüsü nedir?
- Levy-Khintchine formülündeki bir ölçüdür; sürecin sıçramalarının oranını ve büyüklüklerini belirler, her büyüklükteki sıçramaların ne sıklıkta meydana geldiğini kontrol etmektedir.