Brown Hareketi ve Stokastik Hesap
Brown hareketi, artımları bağımsız ve Gauss dağılımlı olan sürekli bir rastgele süreçtir; üzerine inşa edilen stokastik hesap, düzensiz yolları boyunca entegrasyon ve diferansiyasyon kurallarını sağlamaktadır.
Tanım
Brown hareketi, bağımsız durağan Gauss artımlarına ve sürekli, hiçbir yerde türevlenemeyen yollara sahip sürekli zamanlı bir süreçtir; stokastik hesap ise Ito integrali ve Ito'nun değişken değiştirme formülü üzerine odaklanmış, bu tür süreçlere göre entegrasyon ve diferansiyasyon teorisidir.
Kapsam
Bu alan, Wiener süreci ve yol özelliklerini, Ito stokastik integralini ve Ito formülünü, stokastik diferansiyel denklemleri ve difüzyon süreçlerini, Feynman-Kac ve Fokker-Planck denklemi aracılığıyla kısmi diferansiyel denklemlerle bağlantıyı, Girsanov ölçü değişimini ve sıçramalı Levy süreçlerine genişletmeyi kapsamaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- Brown hareketini hangi özellikler karakterize eder ve yollarını bu kadar düzensiz kılar?
- Sonsuz varyasyonuna rağmen Brown hareketine karşı entegrasyon nasıl tanımlanır?
- Ito formülü nedir ve sıradan zincir kuralının yerini nasıl alır?
- Stokastik diferansiyel denklemler ve Levy süreçleri çerçeveyi nasıl genişletir?
Temel kuramlar
- Ito integrali ve Ito formülü
- Ito integrali, martingal özelliğini ve geçen zamana eşit olan karesel varyasyonu kullanarak Brown hareketine karşı entegrasyonu tanımlar; Ito formülü ise bu varyasyonu yansıtan ek bir ikinci türev terimi içeren bir değişken değiştirme kuralı sunar.
- Difüzyonlar ve kısmi diferansiyel denklemlerle bağlantı
- Stokastik diferansiyel denklemlerin çözümleri, geçiş yoğunlukları Fokker-Planck ve geri Kolmogorov denklemlerini çözen Markov difüzyonlarıdır; Feynman-Kac formülü ise parabolik denklemlerin çözümlerini difüzyon yolları üzerindeki beklentiler olarak temsil etmektedir.
Klinik önem
Brown hareketi ve stokastik hesap, parçacıkların ve ısının difüzyonunu, opsiyon fiyatlandırmasının Black-Scholes teorisindeki varlık fiyatlarının rastgele dalgalanmasını, fiziksel ve mühendislik sistemlerindeki gürültüyü ve gürültülü sinyallerin filtrelenmesini modellemektedir; bu da onları fizik, finans ve kontrol alanlarında vazgeçilmez kılmaktadır.
Tarihçe
Brown, 1827'de polen tanelerinin düzensiz hareketini gözlemlemiştir. Einstein ve Smoluchowski, 1905 civarında fiziksel teorisini ortaya koymuştur. Bachelier, 1900'de finans için zaten kullanmıştır. Wiener, 1923'te onu titizlikle inşa etmiştir ve Ito, 1940'larda onu bir hesaplama aracına dönüştüren stokastik hesabı yaratmıştır.
Öne çıkan isimler
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
İlgili konular
Temel eserler
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Sıkça sorulan sorular
- Brown hareketi için neden sıradan hesap kullanılamaz?
- Brown yolları sonsuz toplam varyasyona sahiptir ve hiçbir yerde türevlenemezdir; bu nedenle sıradan integraller ve klasik zincir kuralı başarısız olur. Ito'nun stokastik hesabı, karesel varyasyonu hesaba katan yerine geçecek yöntemler sunmaktadır.
- Ito formülü nedir?
- Brown hareketi veya difüzyonların fonksiyonları için zincir kuralının stokastik analoğudur; yolların sıfır olmayan karesel varyasyonundan kaynaklanan, ikinci türevi içeren ek bir terim içermektedir.