Yakınsama Biçimleri
Rastgele değişken dizileri, hemen hemen kesin olarak, olasılıkta, p-inci mertebeden ortalamada ve dağılımda olmak üzere birkaç eşdeğer olmayan anlamda yakınsayabilir; bu yakınsama biçimlerinin hiyerarşisini anlamak, her limit teoremini hassas bir şekilde ifade etmek ve kanıtlamak için esastır.
Tanım
Yakınsama biçimleri, rastgele değişken dizilerinin veya dağılımlarının bir limite yaklaşabileceği farklı anlamlardır; bu, değişkenlerin kendilerinin güçlü hemen hemen kesin ve ortalama yakınsamasından, dağılımlarının zayıf yakınsamasına kadar uzanmaktadır.
Kapsam
Konu, hemen hemen kesin yakınsama, olasılıkta yakınsama, p-inci ortalamada yakınsama ve dağılımda yakınsama biçimlerini, bunlar arasındaki çıkarımları ve karşı örnekleri, olasılıkta yakınsama ile ortalamada yakınsama arasındaki köprü olarak düzgün integrallenebilirliği, zayıf yakınsamanın portmanto karakterizasyonunu ve ölçü ailelerinin göreceli kompaktlığı için Prohorov teoremi ile sıkılığı (tightness) kapsamaktadır.
Temel sorular
- Rastgele değişkenler hangi temel anlamlarda yakınsar ve bunlar nasıl farklılık gösterir?
- Hangi yakınsama biçimleri diğerlerini ima eder ve bu çıkarımlar nerede başarısız olur?
- Olasılıkta yakınsamayı ortalamada yakınsamaya yükselten ek koşul nedir?
- Bir dağılım ailesi ne zaman yakınsak bir alt diziye sahip olur?
Anahtar kavramlar
- hemen hemen kesin yakınsama
- olasılıkta yakınsama
- ortalamada yakınsama
- zayıf yakınsama
- sıkılık (tightness) ve Prohorov teoremi
Temel kuramlar
- Yakınsama biçimlerinin hiyerarşisi
- Hemen hemen kesin yakınsama ve p-inci ortalamada yakınsama, her biri olasılıkta yakınsamayı ima eder; bu da sırasıyla dağılımda yakınsamayı ima etmektedir. Ters çıkarımlar ise genellikle başarısız olur, bu nedenle bu biçimler standart karşı örneklerle katı bir hiyerarşi oluşturmaktadır.
- Portmanto teoremi
- Olasılık ölçülerinin zayıf yakınsaması, sınırlı sürekli fonksiyonların beklentilerinin yakınsaması ve dağılım fonksiyonunun her süreklilik noktasında yakınsaması dahil olmak üzere aynı anda birkaç koşula eşdeğerdir; bu da dağılımda yakınsamayı kanıtlamak için esnek kriterler sağlamaktadır.
- Prohorov teoremi ve sıkılık (tightness)
- Bir olasılık ölçüleri ailesi, zayıf yakınsama için göreceli olarak kompakt ise ve ancak ise sıkıdır (tight); bu, kütlenin sonsuza kaçmadığı anlamına gelir ve limit teoremleri ile stokastik süreçlerin incelenmesinde yakınsak alt dizileri çıkarmak için standart bir araçtır.
Klinik önem
Hassas yakınsama biçimleri, istatistikte tutarlılık ve asimptotik dağılımın titiz ifadelerinin, simülasyon ve yaklaşım şemalarının yakınsamasının ve karmaşık stokastik sistemleri Brown hareketine göre yaklaştırmayı haklı çıkaran Donsker'ın değişmezlik prensibi gibi fonksiyonel limit teoremlerinin temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Yakınsama biçimleri arasındaki dikkatli ayrım, olasılığın ölçü-teorik temelleriyle ortaya çıkmıştır; metrik uzaylardaki ölçülerin zayıf yakınsama teorisi ise, sıkılık (tightness) ve Prohorov'un kompaktlık kriteri ile birlikte, stokastik süreçler için limit teoremlerini desteklemek amacıyla yirminci yüzyılın ortalarında Prohorov ve Billingsley tarafından sistemleştirilmiştir.
Öne çıkan isimler
- Patrick Billingsley
- Yuri Prohorov
- Aleksandr Khinchin
İlgili konular
Temel eserler
- billingsley1999convergence
Sıkça sorulan sorular
- Neden bu kadar çok yakınsama türü ayırt edilmektedir?
- Farklı limit teoremleri doğal olarak farklı biçimler üretmektedir; büyük sayılar yasası hemen hemen kesin yakınsama verirken, merkezi limit teoremi dağılımda yakınsama vermektedir ve değişkenlerin ortalamaları hakkındaki sonuçlar ortalamada yakınsamayı gerektirmektedir; bu nedenle, neyin sonuçlandırılabileceği açısından hassas biçim önem taşımaktadır.
- Sıkılık (tightness) nedir?
- Bir dağılım ailesi, herhangi bir gerekli seviye için, tek bir kompakt kümenin ailenin her üyesi için en az o kadar olasılık taşıması durumunda sıkıdır (tight); sıkılık, olasılık kütlesinin sonsuza kaçmasını engeller ve Prohorov teoreminin zayıf kompaktlık için ihtiyaç duyduğu koşul tam olarak budur.