Brown Hareketi ve Stokastik Hesap
Brown hareketi, kanonik sürekli zamanlı rastgele bir süreçtir ve üzerine inşa edilen Ito hesabı, bu hareketin pürüzlü, hiçbir yerde türevlenemeyen yolları boyunca türev alma ve integral alma kurallarını sağlayarak modern stokastik modellemenin dilini oluşturmaktadır.
Tanım
Brown hareketi, bağımsız durağan Gauss artışlarına sahip sürekli yollu bir süreçtir ve stokastik hesap, Ito integrali ve Ito formülü merkezli olmak üzere, bu hareket ve ilgili sürekli martingallerle ilgili integral ve türev teorisidir.
Kapsam
Bu alan, Brown hareketinin inşasını ve yol özelliklerini, martingal ve Markov karakterizasyonlarını, Brown hareketine ve sürekli martingallere karşı Ito stokastik integralini, stokastik hesabın zincir kuralı olarak Ito formülünü, stokastik diferansiyel denklemleri ile bunların varlık ve tekillik teorisini ve Feynman-Kac formülü aracılığıyla kısmi diferansiyel denklemlerle olan bağlantılarını kapsamaktadır.
Alt konular
Temel sorular
- Brown hareketi nasıl inşa edilmektedir ve çarpıcı yol özellikleri nelerdir?
- Yolları sınırsız varyasyona sahip bir sürece karşı nasıl integral alınabilir?
- İntegratör Brown hareketi olduğunda sıradan zincir kuralının yerini ne almaktadır?
- Stokastik diferansiyel denklemler nasıl tanımlanmakta ve çözülmektedir?
Temel kuramlar
- Ito integrali ve Ito formülü
- Ito integrali, Brown hareketine karşı integrali kuadratik varyasyonunu kullanarak tanımlamaktadır ve Ito formülü, kuadratik varyasyonun zamanla doğrusal olarak biriktiğini yansıtan ek bir ikinci dereceden terim içeren sonuçtaki zincir kuralıdır.
- Stokastik diferansiyel denklemler ve Feynman-Kac
- Brown hareketi tarafından yönlendirilen stokastik diferansiyel denklemler, Lipschitz ve büyüme koşulları altında tekil güçlü çözümlere sahiptir ve Feynman-Kac formülü, ilişkili parabolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerini bu difüzyonlar üzerindeki beklentiler olarak temsil etmektedir.
Klinik önem
Stokastik hesap, Black-Scholes modelinin Ito süreci aracılığıyla opsiyonları fiyatlandırdığı sürekli zamanlı finansın matematiksel temelini oluşturmaktadır; ayrıca difüzyon ve gürültüyü tanımladığı fizikte, filtreleme ve stokastik kontrolün temelini oluşturduğu mühendislikte ve rastgelelik altında popülasyon ve nöral dinamikleri modellediği biyolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.
Tarihçe
Brown hareketi Robert Brown tarafından gözlemlenmiş, Einstein ve Smoluchowski tarafından fiziksel olarak modellenmiş ve 1923'te Norbert Wiener tarafından titizlikle inşa edilmiştir. Kiyosi Ito, 1940'larda stokastik integrali ve Ito formülünü yaratarak stokastik hesabın temelini atmış ve bu hesap daha sonra matematiksel finans için vazgeçilmez hale gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
- Paul Levy
- Mark Kac
İlgili konular
Temel eserler
- karatzas1991
- revuz1999
Sıkça sorulan sorular
- Neden sıradan hesap Brown hareketiyle kullanılamaz?
- Brown yolları sürekli olmasına rağmen hiçbir yerde türevlenemez ve sonsuz varyasyona sahiptir, bu nedenle olağan Riemann-Stieltjes integrali ve zincir kuralı uygulanamaz; Ito hesabı, bunların yerine yolların sonlu kuadratik varyasyonuna dayalı yapılar kullanmaktadır.
- Ito formülündeki ek terim nedir?
- Brown hareketinin karesi alınmış artışları kaybolmak yerine belirli bir oranda biriktiği için, stokastik zincir kuralı, geçen süreyle orantılı bir ikinci türev terimi içermektedir ve bu terimin sıradan hesapta bir karşılığı bulunmamaktadır.