Ito Hesabı ve Stokastik Entegrasyon
Ito hesabı, entegrasyonu ve diferansiyasyonu Brown hareketince yönlendirilen süreçlere genişletmekte, sıradan zincir kuralını kuadratik varyasyondan kaynaklanan ek bir terim içeren Ito formülüyle değiştirmektedir.
Tanım
Ito integrali, Brown hareketine karşı öngörülebilir bir sürecin stokastik integralidir ve Ito izometrisi tarafından verilen varyansa sahip bir martingal olacak şekilde tanımlanmaktadır. Ito formülü ise, integratörün kuadratik varyasyonunu yansıtan ikinci türev terimini ekleyen ortaya çıkan değişken değiştirme kuralıdır.
Kapsam
Bu konu, Ito integralinin Brown hareketine karşı sol uç noktalı Riemann toplamlarının limiti olarak inşasını, Ito izometrisini, integralin martingal özelliğini, difüzyonların fonksiyonları için Ito formülünü, çok boyutlu ve çarpım kurallarını, Stratonovich integrali ile karşılaştırmasını ve stokastik entegrasyonu sıradan entegrasyondan ayıran kuadratik varyasyon hesabını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Ito integrali nasıl inşa edilmektedir ve neden sol uç noktalar kullanılmak zorundadır?
- Ito izometrisi nedir ve integralin varyansını nasıl kontrol etmektedir?
- Ito formülünü sıradan zincir kuralından ayıran ek terim nedir?
- Ito integrali, Stratonovich integralinden nasıl farklılaşmaktadır?
Temel kuramlar
- Ito integrali ve Ito izometrisi
- İntegrali sol uç nokta değerlendirmeleriyle tanımlamak, onu bir martingal yapmaktadır. Ito izometrisi ise beklenen kare integrali, kare integrantın beklenen integraliyle eşitleyerek integrale L2 yapısını ve kararlılığını kazandırmaktadır.
- Ito formülü
- Bir difüzyonun düzgün bir fonksiyonu için Ito formülü, diferansiyeli olağan gradyan terimi artı ikinci türev ve kuadratik varyasyonu içeren bir düzeltme terimi olarak ifade etmektedir. Bu kural, stokastik hesabı hesaplanabilir kılmakta ve Black-Scholes denklemini vermektedir.
Klinik önem
Ito hesabı, matematiksel finansın çalışma dilidir; burada Ito formülü, Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemini ve korunma (hedging) stratejilerini türetmektedir. Ayrıca, sistemlerin Gauss beyaz gürültüsü tarafından yönlendirildiği her yerde stokastik kontrol, filtreleme ve fiziğin de temel araçlarından biridir.
Tarihçe
Ito, 1944 ve 1951 yıllarındaki makalelerinde difüzyon süreçlerini inşa etmek amacıyla stokastik integrali ve değişken değiştirme formülünü tanıtmıştır. Stratonovich ve Fisk daha sonra sıradan zincir kuralına uyan alternatif bir integral önermişlerdir. Teori, McKean, Meyer ve diğerlerinin çalışmalarıyla olgunlaştıkça bu iki formülasyon uzlaştırılmıştır.
Öne çıkan isimler
- Kiyosi Ito
- Ruslan Stratonovich
- Henry McKean
İlgili konular
Temel eserler
- oksendal2003
Sıkça sorulan sorular
- Ito formülü neden ek bir terim içermektedir?
- Brown hareketinin sıfır olmayan kuadratik varyasyonu olduğundan, bir Taylor açılımındaki ikinci dereceden terim, limit durumunda yok olmamaktadır. Bu durum, sıradan hesapta bulunmayan, yarım çarpı ikinci türev düzeltmesini eklemektedir.
- Ito ve Stratonovich integralleri arasındaki fark nedir?
- Ito integrali, integrantı sol uç noktada değerlendirir ve bir martingaldir; Stratonovich integrali ise orta noktayı kullanır ve sıradan zincir kuralına uyar. Bu iki integral, bir düzeltme terimiyle farklılaşmakta ve farklı uygulamalar için uygunluk göstermektedir.