Wiener Süreci
Wiener süreci, Brown hareketinin titiz matematiksel modelidir: sıfırdan başlayan, ayrık aralıklar üzerindeki artışları bağımsız olan ve varyansı geçen zamana eşit olan normal dağılımlı sürekli bir süreçtir.
Tanım
Wiener süreci, başlangıç noktasından başlayan sürekli yollara sahip, bağımsız artışlara sahip ve herhangi bir aralık üzerindeki artışı, ortalaması sıfır ve varyansı aralığın uzunluğuna eşit olan normal dağılımlı bir stokastik süreç olup, Brown hareketinin kanonik modelini sağlamaktadır.
Kapsam
Bu konu, Wiener sürecinin tanımlayıcı özelliklerini, varlığını ve Wiener'ın yapısını, yollarının sürekliliğini ancak hiçbir yerde türevlenemezliğini, geçen zamana eşit olan karesel varyasyonunu, güçlü Markov özelliğini ve yansıma ilkesini, ölçekleme ve zaman-tersinme değişmezliklerini ve ince dalgalanmalarını tanımlayan yinelenen logaritma yasasını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Wiener sürecini hangi aksiyomlar tanımlar ve varlığını garanti eder?
- Yolları neden sürekli ancak hiçbir yerde türevlenemezdir?
- Karesel varyasyonu nedir ve neden geçen zamana eşittir?
- Yansıma ilkesi ve güçlü Markov özelliği sürecin davranışını nasıl tanımlar?
Temel kuramlar
- Yol özellikleri ve karesel varyasyon
- Wiener süreci yolları neredeyse kesinlikle sürekli ancak hiçbir yerde türevlenemezdir ve sonsuz toplam varyasyona sahiptir; ancak herhangi bir aralık üzerindeki karesel varyasyonları aralığın uzunluğuna eşittir, bu özellik stokastik entegrasyonu mümkün kılmaktadır.
- Güçlü Markov özelliği ve yansıma ilkesi
- Süreç, durma zamanlarında yeniden başlar ve bir seviyeye ilk ulaştıktan sonra yolu yansıtmak, çalışan maksimumun ve ilk geçiş zamanlarının dağılımını verir; bu, vurma zamanı hesaplamaları için güçlü bir araçtır.
Klinik önem
Wiener süreci, mikroskobik parçacıkların termal hareketini modeller, stokastik diferansiyel denklemlerde ve varlık fiyatlarının Black-Scholes modelinde itici gürültü olarak hizmet eder, Donsker'ın değişmezlik ilkesi aracılığıyla rastgele yürüyüşlerin ölçekleme limiti olarak ortaya çıkar ve mühendislikteki sinyal-artı-gürültü modellerinin temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Bachelier 1900 yılında bu süreçle hisse senedi fiyatlarını modellemiş, Einstein 1905'te fiziksel kuramını ortaya koymuştur. Ancak 1923'te sürekli fonksiyonlar uzayında gerekli özelliklere sahip bir olasılık ölçüsünün varlığını kanıtlayan Wiener olmuştur; bunun ardından Levy ve diğerleri sürecin dikkat çekici yol özelliklerini belirlemişlerdir.
Öne çıkan isimler
- Norbert Wiener
- Albert Einstein
- Louis Bachelier
- Paul Levy
İlgili konular
Temel eserler
- morters2010
Sıkça sorulan sorular
- Wiener süreci, Brown hareketi ile aynı mıdır?
- Evet; Wiener süreci, Brown hareketinin matematiksel olarak titiz tanımıdır ve adını, onu ilk kez sürekli yollar üzerinde bir ölçü olarak inşa eden Norbert Wiener'dan almaktadır.
- Bir yol nasıl sürekli ancak hiçbir yerde türevlenemez olabilir?
- Yol asla sıçrama yapmaz, bu yüzden süreklidir; ancak her ölçekte o kadar şiddetli salınım yapar ki hiçbir noktada teğet yönü mevcut değildir, bu nedenle toplam varyasyonu sonsuzdur.