ทฤษฎีการวัด
ทฤษฎีการวัดนำเสนอแนวคิดที่เข้มงวดเกี่ยวกับขนาด ความยาว พื้นที่ ปริมาตร และความน่าจะเป็น สำหรับกลุ่มของเซตที่มีความหลากหลายสูง และบนรากฐานนั้นได้สร้างปริพันธ์เลอเบกซึ่งเป็นหัวใจสำคัญของการวิเคราะห์สมัยใหม่
Definition
ทฤษฎีการวัดเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดการวัดขนาดที่สอดคล้องกันให้กับเซตย่อยของปริภูมิ และใช้เพื่อกำหนดปริพันธ์ ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของความยาว พื้นที่ ปริมาตร และความน่าจะเป็นภายในกรอบแนวคิดสัจพจน์เดียวกัน
Scope
ขอบเขตของเนื้อหานี้ครอบคลุมถึงซิกมาพีชคณิตและการวัด ฟังก์ชันที่วัดได้ การสร้างการวัดเลอเบก ปริพันธ์เลอเบกและทฤษฎีบทการลู่เข้า ปริภูมิ Lp การวัดแบบมีเครื่องหมายและการวัดเชิงซ้อนพร้อมด้วยทฤษฎีบทราดอน-นิโคดิม และการวัดผลคูณพร้อมด้วยทฤษฎีบทฟูบินี-โทเนลลี
Sub-topics
Core questions
- แนวคิดเรื่องขนาดสามารถกำหนดให้กับกลุ่มของเซตที่หลากหลาย รวมถึงเซตที่ไม่สม่ำเสมอ ได้อย่างสอดคล้องกันได้อย่างไร?
- ปริพันธ์เลอเบกถูกนิยามอย่างไร และเหตุใดจึงมีพฤติกรรมที่ดีกว่าภายใต้ลิมิตเมื่อเทียบกับปริพันธ์รีมันน์?
- เมื่อใดที่สามารถสลับลำดับการหาลิมิตกับการหาปริพันธ์ได้?
- การวัดสองแบบเปรียบเทียบกันได้อย่างไร และเมื่อใดที่การวัดหนึ่งมีฟังก์ชันความหนาแน่นสัมพัทธ์กับการวัดอีกแบบหนึ่ง?
Key theories
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบถูกครอบงำของเลอเบก
- หากฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ลู่เข้าแบบจุดต่อจุดและถูกจำกัดโดยทั่วกันด้วยฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ที่กำหนดไว้ตายตัว แล้วลิมิตของปริพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้นจะเท่ากับปริพันธ์ของลิมิต ซึ่งทำให้สามารถสลับลำดับการหาลิมิตกับการหาปริพันธ์ได้ ซึ่งทฤษฎีของรีมันน์ไม่มี
- ทฤษฎีบทราดอน-นิโคดิม
- หากการวัดซิกมา-ไฟไนต์หนึ่งมีการต่อเนื่องสัมบูรณ์เทียบกับการวัดอีกแบบหนึ่ง ก็สามารถเขียนได้ในรูปปริพันธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นเทียบกับการวัดอีกแบบหนึ่งนั้น ซึ่งให้แนวคิดที่เข้มงวดของความหนาแน่นความน่าจะเป็นและค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไข
Clinical relevance
ทฤษฎีการวัดเป็นรากฐานที่ขาดไม่ได้ของทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ โดยที่การวัดคือการแจกแจงความน่าจะเป็นและปริพันธ์เลอเบกคือค่าคาดหวัง นอกจากนี้ยังเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันผ่านปริภูมิ Lp และปริภูมิฮิลเบิร์ต การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ทฤษฎีเออร์กอดิก และการจัดการกระบวนการสุ่มอย่างเข้มงวดที่ใช้ในการเงินและสถิติ
History
ทฤษฎีการวัดเริ่มต้นด้วยการวัดของโบเรลบนเส้นจำนวน และได้รับการกำหนดรูปแบบที่ชัดเจนโดยเลอเบกในวิทยานิพนธ์ปี 1902 ของเขา ซึ่งได้นำเสนอแนวคิดปริพันธ์สมัยใหม่ การสร้างการวัดภายนอกของคาราธีโอโดรี งานของราดอนเกี่ยวกับการวัดบนปริภูมิทั่วไป และการวางระบบสัจพจน์ของความน่าจะเป็นโดยโคลโมโกรอฟในปี 1933 ได้สร้างทฤษฎีเชิงนามธรรมที่ใช้กันอยู่ในปัจจุบัน
Key figures
- Henri Lebesgue
- Emile Borel
- Johann Radon
- Constantin Caratheodory
Related topics
Seminal works
- folland1999
Frequently asked questions
- เหตุใดจึงต้องแนะนำปริพันธ์เลอเบกในเมื่อมีปริพันธ์รีมันน์อยู่แล้ว?
- ปริพันธ์เลอเบกสามารถหาปริพันธ์ของฟังก์ชันได้มากกว่ามาก และทฤษฎีบทการลู่เข้าของมันช่วยให้สามารถสลับลำดับการหาลิมิตกับการหาปริพันธ์ได้ภายใต้สมมติฐานที่ไม่ซับซ้อน ซึ่งจำเป็นสำหรับการวิเคราะห์ ความน่าจะเป็น และความสมบูรณ์ของปริภูมิ Lp
- ซิกมาพีชคณิตคืออะไร?
- ซิกมาพีชคณิตคือกลุ่มของเซตย่อยที่กำหนดการวัดไว้ โดยมีคุณสมบัติปิดภายใต้การคอมพลีเมนต์และการยูเนียนแบบนับได้ ซึ่งเป็นคุณสมบัติการปิดที่จำเป็นสำหรับการบวกแบบนับได้และการดำเนินการลิมิตเพื่อให้มีความหมาย