ปริภูมิ Lp

ปริภูมิ Lp รวบรวมฟังก์ชันที่กำลัง p เป็นปริพันธ์ได้ ก่อให้เกิดปริภูมิเชิงบรรทัดฐานบริบูรณ์ ซึ่งเป็นสะพานเชื่อมระหว่างทฤษฎีการวัดและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

Definition

สำหรับปริภูมิการวัดและเลขชี้กำลัง p ที่มีค่าอย่างน้อยหนึ่ง ปริภูมิ Lp ประกอบด้วยชั้นสมมูลของฟังก์ชันที่วัดได้ ซึ่งค่าสัมบูรณ์ยกกำลัง p มีปริพันธ์จำกัด โดยมีบรรทัดฐานเป็นรากที่ p ของปริพันธ์นั้น

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมบรรทัดฐาน Lp และการระบุฟังก์ชันที่เท่ากันเกือบทุกที่ อสมการของ Holder และ Minkowski ความบริบูรณ์ของ Lp ที่แสดงโดยทฤษฎีบท Riesz-Fischer กรณีพิเศษของปริภูมิ Hilbert สำหรับฟังก์ชันที่กำลังสองเป็นปริพันธ์ได้ ความคู่กันระหว่างเลขชี้กำลังสังยุค และความหนาแน่นของฟังก์ชันเชิงเดี่ยวและฟังก์ชันต่อเนื่อง

Core questions

• เหตุใดสมาชิกของ Lp จึงต้องเป็นชั้นสมมูลของฟังก์ชันมากกว่าที่จะเป็นฟังก์ชัน?
• อสมการใดที่ทำให้บรรทัดฐาน Lp เป็นบรรทัดฐานที่แท้จริงและควบคุมผลคูณของฟังก์ชัน?
• เหตุใดปริภูมิ Lp แต่ละปริภูมิจึงบริบูรณ์ และเหตุใดจึงมีความสำคัญ?
• มีการระบุคู่กันของปริภูมิ Lp ผ่านเลขชี้กำลังสังยุคได้อย่างไร?

Key theories

อสมการของ Holder และ Minkowski

อสมการของ Holder กำหนดขอบเขตของปริพันธ์ของผลคูณด้วยผลคูณของบรรทัดฐาน Lp ที่เลขชี้กำลังสังยุค และอสมการของ Minkowski สร้างอสมการอิงรูปสามเหลี่ยมสำหรับบรรทัดฐาน Lp ซึ่งเป็นการประมาณค่าสองประการที่ทำให้ Lp เป็นปริภูมิเชิงบรรทัดฐาน

ทฤษฎีบทความบริบูรณ์ของ Riesz-Fischer

ปริภูมิ Lp ทุกปริภูมิมีความบริบูรณ์ ดังนั้นจึงเป็นปริภูมิ Banach และสำหรับเลขชี้กำลังสอง เป็นปริภูมิ Hilbert; ความบริบูรณ์คือสิ่งที่เชื่อมโยงทฤษฎีการวัดกับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและเป็นพื้นฐานของการกระจายอนุกรมฟูเรียร์

Clinical relevance

ปริภูมิ Lp เป็นสภาพแวดล้อมที่เป็นธรรมชาติสำหรับสัญญาณที่มีพลังงานจำกัดและกำลังจำกัด สำหรับการกำหนดรูปแบบเชิงแปรผันของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยผ่านปริภูมิ Sobolev และสำหรับความน่าจะเป็นและสถิติ ซึ่งปริภูมิของตัวแปรสุ่มที่กำลังสองเป็นปริพันธ์ได้รองรับเรขาคณิตเบื้องหลังความแปรปรวน สหสัมพันธ์ และการประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุด

History

Riesz และ Fischer ได้พิสูจน์ความบริบูรณ์ของฟังก์ชันที่กำลังสองเป็นปริพันธ์ได้โดยอิสระในปี 1907 ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ขยายไปสู่เลขชี้กำลังทั่วไปในเวลาต่อมา ปริภูมิ Lp ได้กลายเป็นต้นแบบของปริภูมิ Banach ในการพัฒนาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันของ Riesz และ Banach

Key figures

• Frigyes Riesz
• Ernst Fischer
• Otto Holder

Seminal works

• folland1999
• brezis2011

Frequently asked questions

เหตุใดสมาชิก Lp จึงเป็นชั้นสมมูลมากกว่าฟังก์ชัน?

บรรทัดฐาน Lp ไม่สามารถแยกแยะฟังก์ชันที่แตกต่างกันเฉพาะบนเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์ได้ ดังนั้นเพื่อให้ได้บรรทัดฐานที่แท้จริง จึงมีการระบุฟังก์ชันที่เท่ากันเกือบทุกที่และทำงานกับชั้นสมมูลที่ได้

อะไรคือความพิเศษของกรณีที่ p เท่ากับสอง?

ปริภูมิของฟังก์ชันที่กำลังสองเป็นปริพันธ์ได้เป็นปริภูมิ Hilbert ซึ่งเป็นปริภูมิ Lp เพียงแห่งเดียวที่มีผลคูณภายใน ซึ่งทำให้มีคุณสมบัติการตั้งฉากและการฉายภาพ และทำให้เป็นแหล่งกำเนิดของการวิเคราะห์ฟูเรียร์และสถานะควอนตัม