ทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงการวัด

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงการวัดสร้างทฤษฎีของโอกาสทั้งหมดบนปริภูมิการวัดที่มีมวลรวมเป็นหนึ่ง โดยปรับเปลี่ยนเหตุการณ์ให้เป็นเซตที่วัดได้ ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันที่วัดได้ และค่าคาดหวังเป็นการหาปริพันธ์เทียบกับการวัดความน่าจะเป็น

Definition

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงการวัดคือรากฐานเชิงสัจพจน์ของความน่าจะเป็น ซึ่งความน่าจะเป็นคือการวัดแบบนับได้ที่รวมกันได้ (countably additive measure) ที่มีมวลรวมเป็นหนึ่งบนซิกมา-พีชคณิตของเหตุการณ์ ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่วัดได้ และค่าคาดหวังคือปริพันธ์ของตัวแปรสุ่มเทียบกับการวัดความน่าจะเป็น

Scope

สาขาวิชานี้ครอบคลุมปริภูมิความน่าจะเป็นและซิกมา-พีชคณิตของเหตุการณ์ การวัดความน่าจะเป็นและคุณสมบัติพื้นฐาน ความเป็นอิสระและบทตั้งของ Borel-Cantelli การสร้างค่าคาดหวังในฐานะปริพันธ์เลอเบกพร้อมด้วยทฤษฎีการลู่เข้าและความไม่เท่าเทียมกัน และค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่นิยามผ่านทฤษฎีบท Radon-Nikodym

Sub-topics

• Conditional Expectation
• Expectation and Integration
• Independence and the Borel-Cantelli Lemmas
• Probability Spaces and Events

Core questions

• การกำหนดความน่าจะเป็นต้องเป็นไปตามสัจพจน์ใดบ้างเพื่อสนับสนุนทฤษฎีของโอกาสที่สอดคล้องกัน?
• ตัวแปรสุ่มและค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มถูกนิยามอย่างเข้มงวดบนปริภูมิผลลัพธ์เชิงนามธรรมได้อย่างไร?
• การที่เหตุการณ์หรือตัวแปรสุ่มเป็นอิสระต่อกันหมายความว่าอย่างไร และผลลัพธ์เชิงอนันต์ใดบ้างที่ตามมา?
• ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขถูกนิยามอย่างไรเมื่อมีเงื่อนไขบนเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ หรือบนซิกมา-พีชคณิตทั้งหมด?

Key theories

สัจพจน์ของ Kolmogorov

ความน่าจะเป็นถูกจำลองเป็นฟังก์ชันเซตที่ไม่เป็นลบที่รวมกันได้ (countably additive) ซึ่งมีมวลรวมเป็นหนึ่งบนซิกมา-พีชคณิตของเหตุการณ์ ซึ่งทำให้เครื่องมือทั้งหมดของทฤษฎีการวัดสามารถนำมาใช้ได้ และให้รากฐานที่เข้มงวดและทันสมัยแก่ความน่าจะเป็น

บทตั้งของ Borel-Cantelli

หากความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์สามารถรวมกันได้ (summable) แล้วจะมีเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่เกิดขึ้นเกือบแน่นอน และในทางกลับกันสำหรับเหตุการณ์อิสระที่มีความน่าจะเป็นที่ไม่สามารถรวมกันได้ (non-summable) จะมีจำนวนอนันต์เกิดขึ้นเกือบแน่นอน ซึ่งให้การแบ่งแยกที่ชัดเจนสำหรับพฤติกรรมส่วนท้าย (tail behavior)

ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขผ่าน Radon-Nikodym

ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่กำหนดโดยซับ-ซิกมา-พีชคณิต (sub-sigma-algebra) ถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้และวัดได้เพียงหนึ่งเดียว ซึ่งปริพันธ์ของมันสอดคล้องกันบนซับ-ซิกมา-พีชคณิตนั้น โดยการมีอยู่รับประกันโดยทฤษฎีบท Radon-Nikodym; ซึ่งเป็นพื้นฐานของมาร์ติงเกลและการปรับปรุงแบบเบย์ (Bayesian updating)

Clinical relevance

สาขาวิชานี้เป็นรากฐานของความน่าจะเป็นที่เข้มงวดทั้งหมด: ทฤษฎีบทลิมิต, มาร์ติงเกล, กระบวนการมาร์คอฟ, และแคลคูลัสเชิงสุ่ม ล้วนพัฒนาขึ้นบนรากฐานของปริภูมิความน่าจะเป็น และค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นพื้นฐานอย่างเป็นทางการของการกรอง (filtering), การพยากรณ์, การอนุมานแบบเบย์ (Bayesian inference), และการกำหนดราคาอนุพันธ์ทางการเงินแบบไม่มีการเก็งกำไร (no-arbitrage pricing)

History

ความน่าจะเป็นถูกวางอยู่บนรากฐานที่เข้มงวดโดยเอกสารวิชาการของ Kolmogorov ในปี 1933 ซึ่งระบุว่าความน่าจะเป็นคือการวัดที่มีมวลรวมเป็นหนึ่ง และรวมงานก่อนหน้าของ Borel, Cantelli และ Levy เข้าด้วยกัน มุมมองเชิงการวัด ซึ่งได้รับการปรับปรุงโดย Doob และคนอื่นๆ ได้กลายเป็นภาษามาตรฐานของสาขาวิชานี้ และนำเสนอในตำราเรียนระดับบัณฑิตศึกษาของ Billingsley, Durrett และ Williams

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Emile Borel
• Francesco Paolo Cantelli
• Joseph L. Doob

Seminal works

• kolmogorov1933
• billingsley1995

Frequently asked questions

ทำไมความน่าจะเป็นจึงจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีการวัดเลย?

ทฤษฎีการวัดช่วยให้ความน่าจะเป็นสามารถจัดการกับปริภูมิผลลัพธ์อนันต์ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และลิมิตของเหตุการณ์ได้อย่างสอดคล้องกัน; คุณสมบัติการรวมกันได้แบบนับได้ (countable additivity) ของการวัดเป็นคุณสมบัติที่จำเป็นอย่างยิ่งสำหรับทฤษฎีบทลิมิตและค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่จะถูกนิยามได้อย่างถูกต้อง

ซิกมา-พีชคณิตของเหตุการณ์คืออะไร?

คือชุดของเซตย่อยของปริภูมิผลลัพธ์ที่กำหนดความน่าจะเป็นให้ ซึ่งปิดภายใต้การคอมพลีเมนต์และการยูเนียนแบบนับได้; การปิดนี้เองที่ทำให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นของลิมิตของเหตุการณ์ได้