ซิกมา-พีชคณิตและเมเชอร์
ซิกมา-พีชคณิตกำหนดว่าเซตใดบ้างที่สามารถวัดได้ และเมเชอร์จะกำหนดขนาดที่สอดคล้องกันให้กับแต่ละเซต; ทั้งสองรวมกันเป็นปริภูมิที่วัดได้ ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีอินทิเกรชันทั้งหมด
Definition
ซิกมา-พีชคณิตคือกลุ่มของเซตย่อยที่ปิดภายใต้คอมพลีเมนต์และการยูเนียนแบบนับได้ และเมเชอร์คือฟังก์ชันเซตที่ไม่เป็นลบและมีการบวกแบบนับได้บนซิกมา-พีชคณิต; ทั้งคู่รวมกันเป็นปริภูมิเมเชอร์ที่ขยายแนวคิดของความยาว, พื้นที่, ปริมาตร และความน่าจะเป็น
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมซิกมา-พีชคณิตและบอเรลซิกมา-พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยเซตเปิด, ฟังก์ชันที่วัดได้, สัจพจน์ของเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติการบวกแบบนับได้, เอาเตอร์เมเชอร์และการสร้างแบบคาราธีโอโดรี, การสร้างเลอเบกเมเชอร์, ความสมบูรณ์และเซตว่าง, และความต่อเนื่องของเมเชอร์ตามลำดับโมโนโทน
Core questions
- กลุ่มของเซตใดบ้างที่สามารถรองรับแนวคิดของขนาดที่สอดคล้องกันได้?
- เลอเบกเมเชอร์บนปริภูมิยูคลิดถูกสร้างขึ้นจากเอาเตอร์เมเชอร์ได้อย่างไร?
- คุณสมบัติการบวกแบบนับได้มีส่วนช่วยอะไรที่การบวกแบบจำกัดไม่สามารถทำได้?
- เหตุใดเมเชอร์จึงไม่สามารถนิยามได้บนทุกเซตย่อยอย่างสมบูรณ์?
Key theories
- ทฤษฎีบทการขยายของคาราธีโอโดรี
- เอาเตอร์เมเชอร์จะจำกัดอยู่เฉพาะเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติการบวกแบบนับได้อย่างแท้จริงบนซิกมา-พีชคณิตของเซตที่วัดได้ ซึ่งเป็นการสร้างที่ทำให้เกิดเลอเบกเมเชอร์และเมเชอร์บนปริภูมิเชิงนามธรรมจากฟังก์ชันเซตที่เรียบง่ายกว่า
- การมีอยู่ของเซตที่ไม่สามารถวัดได้
- เมื่อสมมติสัจพจน์ของการเลือก จะมีเซตย่อยของเส้นจำนวนจริงที่ไม่มีเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติการบวกแบบนับได้และไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนขนานสามารถกำหนดขนาดให้ได้ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงต้องใช้ซิกมา-พีชคณิตแทนที่จะเป็นเซตย่อยทั้งหมด
Clinical relevance
ปริภูมิเมเชอร์เป็นรากฐานที่เป็นทางการของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งซิกมา-พีชคณิตเข้ารหัสเหตุการณ์ที่สังเกตได้ และเมเชอร์คือการแจกแจงความน่าจะเป็น; กรอบการทำงานเดียวกันนี้สนับสนุนการอินทิเกรชัน, การจัดการความสุ่มอย่างเข้มงวดในสถิติและการเงิน, และการนิยามปริภูมิฟังก์ชันในการวิเคราะห์
History
บอเรลได้นำเสนอซิกมา-พีชคณิตของเซตที่สร้างจากช่วงประมาณปี 1898 และเลอเบกได้นิยามเมเชอร์บนเส้นจำนวนในปี 1902 วิธีเอาเตอร์เมเชอร์ของคาราธีโอโดรีได้ขยายการสร้างไปสู่ปริภูมิเชิงนามธรรม และตัวอย่างของวิทาลีในปี 1905 ได้แสดงให้เห็นเซตที่ไม่สามารถวัดได้
Key figures
- Constantin Caratheodory
- Emile Borel
- Henri Lebesgue
Related topics
Seminal works
- folland1999
- axler2020
Frequently asked questions
- ทำไมไม่วัดทุกเซตย่อยของเส้นจำนวนไปเลย?
- การใช้สัจพจน์ของการเลือกทำให้สามารถสร้างเซตได้ เช่น เซตวิทาลี ซึ่งไม่สามารถกำหนดขนาดที่สอดคล้องกับการไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนขนานและการบวกแบบนับได้ ดังนั้นการวัดจึงถูกจำกัดอยู่เฉพาะซิกมา-พีชคณิตเท่านั้น
- บทบาทของการบวกแบบนับได้คืออะไร?
- การบวกแบบนับได้ ซึ่งหมายถึงเมเชอร์ของการยูเนียนแบบนับได้ของเซตที่ไม่ทับซ้อนกันคือผลรวมของเมเชอร์แต่ละเซต เป็นสิ่งที่ทำให้เมเชอร์สามารถทำงานร่วมกับลิมิตได้ดี และทำให้ทฤษฎีบทการลู่เข้าของการอินทิเกรชันเป็นไปได้