ค่าคาดหมายและการอินทิเกรต
ค่าคาดหมายคือปริพันธ์เลอเบกของตัวแปรสุ่มเทียบกับการวัดความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นแนวคิดเดียวที่รวมผลรวมสำหรับตัวแปรไม่ต่อเนื่องและปริพันธ์สำหรับตัวแปรต่อเนื่องเข้าไว้ด้วยกัน และได้รับทฤษฎีบทการลู่เข้าที่มีประสิทธิภาพจากทฤษฎีการวัด
Definition
ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มคือปริพันธ์ของตัวแปรนั้นเทียบกับการวัดความน่าจะเป็น ซึ่งสร้างขึ้นครั้งแรกสำหรับตัวแปรที่ไม่เป็นลบในฐานะค่าสูงสุดเหนือการประมาณแบบง่าย และขยายไปสู่ตัวแปรที่หาปริพันธ์ได้ในฐานะผลต่างของส่วนที่เป็นบวกและส่วนที่เป็นลบ
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างค่าคาดหมายสำหรับตัวแปรสุ่มแบบง่าย ไม่เป็นลบ และหาปริพันธ์ได้, ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบโมโนโทนและแบบถูกครอบงำ และบทตั้งของฟาตู, สูตรการเปลี่ยนตัวแปรที่เชื่อมโยงค่าคาดหมายกับปริพันธ์เทียบกับการแจกแจง, โมเมนต์และปริภูมิ Lp, และอสมการของเจนเซน, โฮลเดอร์, มาร์คอฟ และเชบีเชฟ
Core questions
- ค่าคาดหมายถูกกำหนดสำหรับตัวแปรสุ่มใดๆ อย่างไร ไม่ใช่แค่ตัวแปรไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องเท่านั้น?
- ภายใต้เงื่อนไขใดที่ลิมิตสามารถย้ายเข้าไปในค่าคาดหมายได้?
- โมเมนต์และปริภูมิ Lp วัดขนาดของตัวแปรสุ่มได้อย่างไร?
- อสมการใดที่จำกัดความน่าจะเป็นและค่าคาดหมายในรูปของโมเมนต์?
Key concepts
- ค่าคาดหมายในฐานะปริพันธ์เลอเบก
- การลู่เข้าแบบโมโนโทนและแบบถูกครอบงำ
- บทตั้งของฟาตู
- โมเมนต์และความแปรปรวน
- ปริภูมิ Lp ของตัวแปรสุ่ม
Key theories
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบโมโนโทนและแบบถูกครอบงำ
- สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบที่เพิ่มขึ้น ค่าคาดหมายของลิมิตจะเท่ากับลิมิตของค่าคาดหมาย และสำหรับลำดับที่ถูกครอบงำโดยตัวแปรที่หาปริพันธ์ได้ การสลับตำแหน่งเดียวกันนี้ก็ใช้ได้ ซึ่งให้ทฤษฎีบทลิมิตที่ทฤษฎีพื้นฐานขาดไป
- อสมการของเจนเซน
- สำหรับฟังก์ชันนูน ค่าคาดหมายของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มมีค่าอย่างน้อยเท่ากับฟังก์ชันของค่าคาดหมาย ซึ่งให้การเปรียบเทียบโมเมนต์ คุณสมบัติการหดตัวของค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไข และขอบเขตจำนวนมากตลอดความน่าจะเป็น
- อสมการของมาร์คอฟและเชบีเชฟ
- ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบจะเกินระดับหนึ่งถูกจำกัดโดยค่าเฉลี่ยหารด้วยระดับนั้น และเมื่อนำไปใช้กับการเบี่ยงเบนกำลังสอง สิ่งนี้จะควบคุมการกระจายในรูปของความแปรปรวน ซึ่งเป็นเส้นทางพื้นฐานไปสู่กฎอ่อนของจำนวนมาก
Clinical relevance
ค่าคาดหมายและอสมการของมันถูกใช้ในทุกที่ที่ปริมาณถูกหาค่าเฉลี่ยภายใต้ความไม่แน่นอน: พวกมันกำหนดค่าเฉลี่ย, ความแปรปรวน, และมาตรวัดความเสี่ยงในสถิติและการเงิน, ให้ขอบเขตความเข้มข้นเบื้องหลังทฤษฎีการเรียนรู้และอัลกอริทึมแบบสุ่ม, และให้ทฤษฎีบทการลู่เข้าที่รองรับการประมาณแบบมอนติคาร์โล
History
เมื่อปริพันธ์ของเลอเบกพร้อมใช้งาน นักคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นได้ระบุค่าคาดหมายกับการอินทิเกรตเทียบกับการวัดความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นการระบุที่ชัดเจนในกรอบงานของโคลโมโกรอฟ และพัฒนาพร้อมกับทฤษฎีบทการลู่เข้าและอสมการคลาสสิกในตำราเรียนระดับบัณฑิตศึกษามาตรฐาน
Key figures
- Henri Lebesgue
- Johan Jensen
- Pafnuty Chebyshev
- Andrey Markov
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
Frequently asked questions
- ค่าคาดหมายเหมือนกับค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์หรือไม่?
- ใช่ในแง่ของแนวคิด: มันคือปริพันธ์ของตัวแปรสุ่มที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์ ซึ่งลดรูปเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักสำหรับตัวแปรไม่ต่อเนื่อง และเป็นปริพันธ์ปกติเทียบกับความหนาแน่นสำหรับตัวแปรต่อเนื่อง
- เมื่อใดที่ฉันสามารถสลับลิมิตและค่าคาดหมายได้?
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบโมโนโทนอนุญาตให้ทำได้สำหรับลำดับที่ไม่เป็นลบที่เพิ่มขึ้น และทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบถูกครอบงำอนุญาตให้ทำได้เมื่อลำดับถูกจำกัดโดยตัวแปรที่หาปริพันธ์ได้คงที่; หากไม่มีเงื่อนไขดังกล่าว การสลับตำแหน่งอาจล้มเหลวได้