สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชื่อมโยงฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าของตัวแปรหลายตัวเข้ากับอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเหล่านั้น และเป็นภาษาทางคณิตศาสตร์หลักของฟิสิกส์ต่อเนื่อง
Definition
สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยคือสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าของตัวแปรอิสระสองตัวขึ้นไปพร้อมกับอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเหล่านั้น การแก้สมการหมายถึงการกำหนดฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการและข้อมูลขอบเขตหรือข้อมูลเริ่มต้นที่กำหนดไว้
Scope
ขอบเขตนี้ครอบคลุมการจำแนกประเภทของสมการอันดับสองออกเป็นประเภทเชิงวงรี (elliptic), เชิงพาราโบลา (parabolic) และเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic), สมการลาปลาซ (Laplace), สมการความร้อน (heat) และสมการคลื่น (wave) แบบบัญญัติ, วิธีลักษณะเฉพาะ (method of characteristics) สำหรับสมการอันดับหนึ่งและสมการไฮเพอร์โบลา, ผลเฉลยพื้นฐาน (fundamental solutions) และฟังก์ชันกรีน (Green's functions), การมีคำตอบที่ดี (well-posedness) และเงื่อนไขขอบเขตและเงื่อนไขเริ่มต้น, และกรอบแนวคิดสมัยใหม่ของผลเฉลยอ่อน (weak solutions) และปริภูมิโซโบเลฟ (Sobolev spaces)
Sub-topics
Core questions
- สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยจำแนกได้อย่างไร และเหตุใดประเภทจึงมีความสำคัญ?
- เงื่อนไขขอบเขตหรือเงื่อนไขเริ่มต้นใดที่ทำให้ปัญหาเป็นคำตอบที่ดี?
- ผลเฉลยพื้นฐานและฟังก์ชันกรีนถูกนำมาใช้เพื่อแสดงผลเฉลยได้อย่างไร?
- ในความหมายทั่วไปใดที่ผลเฉลยมีอยู่เมื่อผลเฉลยแบบคลาสสิกไม่มีอยู่?
Key theories
- การจำแนกประเภทออกเป็นเชิงวงรี เชิงพาราโบลา และเชิงไฮเพอร์โบลา
- โครงสร้างเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์อันดับสองนำหน้าจะจัดเรียงสมการออกเป็นสามประเภทตามแบบจำลองของสมการลาปลาซ สมการความร้อน และสมการคลื่น ซึ่งแต่ละประเภทมีพฤติกรรมการสม่ำเสมอและการแพร่กระจายที่แตกต่างกัน
- ผลเฉลยพื้นฐานและฟังก์ชันกรีน
- ผลเฉลยสำหรับปัญหาเชิงเส้นหลายปัญหาแสดงโดยการสังวัตน์ข้อมูลกับผลเฉลยพื้นฐานหรือฟังก์ชันกรีนที่ปรับให้เข้ากับโดเมนและเงื่อนไขขอบเขต
- ผลเฉลยอ่อนและปริภูมิโซโบเลฟ
- การปรับเปลี่ยนสมการให้อยู่ในรูปอินทิกรัลบนปริภูมิโซโบเลฟทำให้เกิดการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของผลเฉลยอ่อนผ่านเครื่องมือการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน โดยทฤษฎีความสม่ำเสมอจะกู้คืนความเรียบแบบคลาสสิก
Clinical relevance
สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยควบคุมการนำความร้อน การแพร่กระจายของคลื่น การไหลของของไหล แม่เหล็กไฟฟ้า การแพร่ และกลศาสตร์ควอนตัม และมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการจำลองทางวิศวกรรม การประมวลผลภาพ และการเงินเชิงคณิตศาสตร์ผ่านสมการต่างๆ เช่น Black-Scholes
History
สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเกิดขึ้นในศตวรรษที่สิบแปดจากสมการคลื่นของ d'Alembert และทฤษฎีศักย์ของ Laplace และการวิเคราะห์การนำความร้อนของ Fourier ได้นำเสนอการกระจายอนุกรม Hadamard ได้กำหนดความเป็นคำตอบที่ดีอย่างเป็นทางการ และการนำเสนออนุพันธ์ทั่วไปและปริภูมิฟังก์ชันของ Sobolev ในศตวรรษที่ยี่สิบได้สร้างทฤษฎีสมัยใหม่ของผลเฉลยอ่อน
Key figures
- Jean le Rond d'Alembert
- Pierre-Simon Laplace
- Joseph Fourier
- Jacques Hadamard
- Sergei Sobolev
Related topics
Seminal works
- evans2010
- courant1962
- john1982
Frequently asked questions
- เหตุใดจึงจำแนก PDE เป็นเชิงวงรี เชิงพาราโบลา หรือเชิงไฮเพอร์โบลา?
- การจำแนกประเภททำนายพฤติกรรมเชิงคุณภาพ: สมการเชิงวงรีอธิบายสถานะคงที่ที่มีผลเฉลยเรียบ สมการเชิงพาราโบลาอธิบายการแพร่ที่ทำให้ข้อมูลเรียบขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป และสมการเชิงไฮเพอร์โบลาอธิบายคลื่นที่แพร่กระจายด้วยความเร็วจำกัดและรักษาภาวะเอกฐาน ประเภทนี้ยังกำหนดเงื่อนไขขอบเขตและเงื่อนไขเริ่มต้นที่เหมาะสมอีกด้วย
- การที่ปัญหา PDE เป็นคำตอบที่ดีหมายความว่าอย่างไร?
- ตาม Hadamard ปัญหาจะเป็นคำตอบที่ดีหากมีผลเฉลย มีความเป็นเอกลักษณ์ และขึ้นอยู่กับข้อมูลอย่างต่อเนื่อง ปัญหาที่มีความหมายทางกายภาพหลายปัญหาเป็นคำตอบที่ดี ในขณะที่ปัญหาอื่นๆ เช่น สมการความร้อนย้อนหลัง เป็นคำตอบที่ไม่ดีและต้องมีการทำให้เป็นปกติ