Kalkulus Ito dan Integrasi Stokastik

Kalkulus Ito memperluas integrasi dan diferensiasi ke proses yang didorong oleh gerak Brownian, menggantikan aturan rantai biasa dengan rumus Ito, yang membawa suku tambahan dari variasi kuadratik.

Definition

Integral Ito adalah integral stokastik dari proses prediktabilitas terhadap gerak Brownian, didefinisikan sedemikian rupa sehingga merupakan martingal dengan varians yang diberikan oleh isometri Ito, dan rumus Ito adalah aturan perubahan variabel yang dihasilkan yang menambahkan suku turunan kedua yang mencerminkan variasi kuadratik dari integrator.

Scope

Topik ini mencakup konstruksi integral Ito sebagai limit jumlah Riemann titik-kiri terhadap gerak Brownian, isometri Ito, sifat martingal dari integral, rumus Ito untuk fungsi difusi, aturan multidimensi dan produk, perbandingan dengan integral Stratonovich, dan kalkulus variasi kuadratik yang membedakan integrasi stokastik dari integrasi biasa.

Core questions

• Bagaimana integral Ito dibangun dan mengapa titik-titik ujung kiri harus digunakan?
• Apa itu isometri Ito dan bagaimana ia mengontrol varians integral?
• Suku tambahan apa yang membedakan rumus Ito dari aturan rantai biasa?
• Bagaimana integral Ito berbeda dari integral Stratonovich?

Key theories

Integral Ito dan isometri Ito

Mendefinisikan integral dengan evaluasi titik-kiri menjadikannya martingal, dan isometri Ito menyamakan integral kuadrat yang diharapkan dengan integral yang diharapkan dari integran kuadrat, memberikan integral struktur dan stabilitas L2-nya.

Rumus Ito

Untuk fungsi mulus dari difusi, rumus Ito menyatakan diferensial sebagai suku gradien biasa ditambah koreksi yang melibatkan turunan kedua dan variasi kuadratik, aturan yang membuat kalkulus stokastik dapat dihitung dan menghasilkan persamaan Black-Scholes.

Clinical relevance

Kalkulus Ito adalah bahasa kerja keuangan matematika, di mana rumus Ito menurunkan persamaan diferensial parsial Black-Scholes dan strategi lindung nilai, serta kontrol stokastik, penyaringan, dan fisika, di mana pun sistem dimodelkan sebagai didorong oleh derau putih Gaussian.

History

Ito memperkenalkan integral stokastik dan rumus perubahan variabelnya dalam makalah tahun 1944 dan 1951 untuk membangun proses difusi, Stratonovich dan Fisk kemudian mengusulkan integral alternatif yang mematuhi aturan rantai biasa, dan kedua formulasi tersebut direkonsiliasi seiring dengan matangnya teori melalui karya McKean, Meyer, dan lain-lain.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

Mengapa rumus Ito memiliki suku tambahan?

Karena gerak Brownian memiliki variasi kuadratik bukan nol, suku orde kedua dalam ekspansi Taylor tidak hilang pada limit, menambahkan koreksi setengah-kali-turunan-kedua yang tidak ada dalam kalkulus biasa.

Apa perbedaan antara integral Ito dan Stratonovich?

Integral Ito mengevaluasi integran pada titik ujung kiri dan merupakan martingal, sedangkan integral Stratonovich menggunakan titik tengah dan mematuhi aturan rantai biasa; keduanya berbeda dengan suku koreksi dan cocok untuk aplikasi yang berbeda.