Gerak Brownian dan Kalkulus Stokastik
Gerak Brownian adalah proses acak kontinu yang inkremennya independen dan Gaussian; kalkulus stokastik yang dibangun di atasnya menyediakan aturan untuk mengintegrasikan dan mendiferensiasikan sepanjang jalur yang tidak menentu.
Definition
Gerak Brownian adalah proses waktu kontinu dengan inkremen Gaussian stasioner independen dan jalur kontinu yang tidak dapat didiferensiasi di mana pun, dan kalkulus stokastik adalah teori integrasi dan diferensiasi sehubungan dengan proses semacam itu, berpusat pada integral Ito dan formula perubahan variabel Ito.
Scope
Area ini mencakup proses Wiener dan sifat jalurnya, integral stokastik Ito dan formula Ito, persamaan diferensial stokastik dan proses difusi, hubungan dengan persamaan diferensial parsial melalui Feynman-Kac dan persamaan Fokker-Planck, perubahan ukuran Girsanov, dan perluasan ke proses Levy dengan lompatan.
Sub-topics
Core questions
- Sifat-sifat apa yang mencirikan gerak Brownian dan membuat jalurnya begitu tidak beraturan?
- Bagaimana integrasi didefinisikan terhadap gerak Brownian meskipun variasinya tak terbatas?
- Apa itu formula Ito dan bagaimana ia menggantikan aturan rantai biasa?
- Bagaimana persamaan diferensial stokastik dan proses Levy memperluas kerangka kerja?
Key theories
- Integral Ito dan formula Ito
- Integral Ito mendefinisikan integrasi terhadap gerak Brownian dengan memanfaatkan sifat martingal dan variasi kuadratik yang sama dengan waktu yang telah berlalu, dan formula Ito memberikan aturan perubahan variabel dengan suku turunan kedua tambahan yang mencerminkan variasi tersebut.
- Difusi dan hubungan dengan persamaan diferensial parsial
- Solusi persamaan diferensial stokastik adalah difusi Markov yang kepadatan transisinya menyelesaikan persamaan Fokker-Planck dan Kolmogorov mundur, dan formula Feynman-Kac merepresentasikan solusi persamaan parabolik sebagai ekspektasi atas jalur difusi.
Clinical relevance
Gerak Brownian dan kalkulus stokastik memodelkan difusi partikel dan panas, fluktuasi acak harga aset dalam teori penetapan harga opsi Black-Scholes, kebisingan dalam sistem fisik dan rekayasa, serta penyaringan sinyal bising, menjadikannya sangat diperlukan di seluruh fisika, keuangan, dan kontrol.
History
Brown mengamati gerak tidak menentu butiran serbuk sari pada tahun 1827, Einstein dan Smoluchowski memberikan teori fisiknya sekitar tahun 1905, Bachelier telah menggunakannya untuk keuangan pada tahun 1900, Wiener membangunnya secara ketat pada tahun 1923, dan Ito menciptakan kalkulus stokastik pada tahun 1940-an yang mengubahnya menjadi alat komputasi.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- Mengapa kalkulus biasa tidak dapat digunakan untuk gerak Brownian?
- Jalur Brownian memiliki variasi total tak terbatas dan tidak dapat didiferensiasi di mana pun, sehingga integral biasa dan aturan rantai klasik gagal; kalkulus stokastik Ito menyediakan pengganti yang memperhitungkan variasi kuadratik.
- Apa itu formula Ito?
- Ini adalah analog stokastik dari aturan rantai untuk fungsi gerak Brownian atau difusi, termasuk suku tambahan yang melibatkan turunan kedua yang muncul dari variasi kuadratik jalur yang tidak nol.