Gerak Brownian dan Kalkulus Stokastik
Gerak Brownian adalah proses acak waktu-kontinu kanonik, dan kalkulus Ito yang dibangun di atasnya menyediakan aturan untuk membedakan dan mengintegrasikan sepanjang jalur bergerigi yang tidak dapat dibedakan di mana pun, bahasa pemodelan stokastik modern.
Definition
Gerak Brownian adalah proses jalur-kontinu dengan kenaikan Gaussian stasioner independen, dan kalkulus stokastik adalah teori integrasi dan diferensiasi sehubungan dengan itu dan martingal kontinu terkait, yang berpusat pada integral Ito dan formula Ito.
Scope
Area ini mencakup konstruksi dan sifat jalur gerak Brownian, karakterisasi martingal dan Markov-nya, integral stokastik Ito terhadap gerak Brownian dan martingal kontinu, formula Ito sebagai aturan rantai kalkulus stokastik, persamaan diferensial stokastik dan teori keberadaan serta keunikannya, dan hubungan dengan persamaan diferensial parsial melalui formula Feynman-Kac.
Sub-topics
Core questions
- Bagaimana gerak Brownian dibangun, dan apa saja sifat jalurnya yang mencolok?
- Bagaimana seseorang dapat mengintegrasikan terhadap suatu proses yang jalurnya memiliki variasi tak terbatas?
- Apa yang menggantikan aturan rantai biasa ketika integrator adalah gerak Brownian?
- Bagaimana persamaan diferensial stokastik didefinisikan dan diselesaikan?
Key theories
- Integral Ito dan formula Ito
- Integral Ito mendefinisikan integrasi terhadap gerak Brownian menggunakan variasi kuadratiknya, dan formula Ito adalah aturan rantai yang dihasilkan, yang membawa suku orde kedua tambahan yang mencerminkan bahwa variasi kuadratik terakumulasi secara linier dalam waktu.
- Persamaan diferensial stokastik dan Feynman-Kac
- Persamaan diferensial stokastik yang digerakkan oleh gerak Brownian memiliki solusi kuat yang unik di bawah kondisi Lipschitz dan pertumbuhan, dan formula Feynman-Kac merepresentasikan solusi persamaan diferensial parsial parabolik terkait sebagai ekspektasi atas difusi ini.
Clinical relevance
Kalkulus stokastik adalah dasar matematika keuangan waktu-kontinu, di mana model Black-Scholes menentukan harga opsi melalui proses Ito, dan ini meresap ke dalam fisika, di mana ia menggambarkan difusi dan kebisingan, teknik, di mana ia mendasari penyaringan dan kontrol stokastik, dan biologi, di mana ia memodelkan dinamika populasi dan saraf di bawah keacakan.
History
Gerak Brownian diamati oleh Robert Brown, dimodelkan secara fisik oleh Einstein dan Smoluchowski, dan dibangun secara ketat oleh Norbert Wiener pada tahun 1923. Kiyosi Ito menciptakan integral stokastik dan formula Ito pada tahun 1940-an, mendirikan kalkulus stokastik, yang kemudian menjadi sangat diperlukan untuk keuangan matematika.
Key figures
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
- Paul Levy
- Mark Kac
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
- revuz1999
Frequently asked questions
- Mengapa kalkulus biasa tidak dapat digunakan dengan gerak Brownian?
- Jalur Brownian kontinu tetapi tidak dapat dibedakan di mana pun dan memiliki variasi tak terbatas, sehingga integral Riemann-Stieltjes dan aturan rantai yang biasa tidak berlaku; kalkulus Ito menggantinya dengan konstruksi berdasarkan variasi kuadratik jalur yang terbatas.
- Apa suku tambahan dalam formula Ito?
- Karena kenaikan kuadrat gerak Brownian terakumulasi pada laju tertentu daripada menghilang, aturan rantai stokastik mencakup suku turunan kedua yang sebanding dengan waktu yang telah berlalu, yang tidak memiliki analog dalam kalkulus biasa.