Martingales dan Integrasi Stokastik

Martingales waktu kontinu, dengan variasi kuadratik dan dekomposisi mereka menjadi bagian yang dapat diprediksi dan martingale, adalah integrator yang menjadi dasar pembangunan integral stokastik.

Definition

Dalam waktu kontinu, martingale adalah proses yang kenaikan harapan bersyaratnya lenyap; variasi kuadratiknya mengukur fluktuasi yang terakumulasi, dekomposisi Doob-Meyer membagi submartingales menjadi bagian yang dapat diprediksi dan meningkat serta martingale, dan struktur-struktur ini mendefinisikan integrasi stokastik terhadap semimartingales.

Scope

Topik ini mencakup martingales waktu kontinu dan martingales lokal, dekomposisi Doob-Meyer dari submartingales, variasi kuadratik dan proses bracket, semimartingales sebagai kelas integrator alami terbesar, konstruksi integral stokastik terhadap martingale, dan teorema representasi martingale yang menyatakan martingales Brownian sebagai integral stokastik.

Core questions

• Bagaimana martingales waktu kontinu dan martingales lokal menggeneralisasi kasus diskrit?
• Apa itu variasi kuadratik dan mengapa hal itu menjadi pusat integrasi stokastik?
• Bagaimana dekomposisi Doob-Meyer mengidentifikasi bagian martingale dari suatu proses?
• Mengapa semimartingales merupakan kelas integrator alami, dan apa yang diberikan oleh representasi martingale?

Key theories

Dekomposisi Doob-Meyer dan variasi kuadratik

Submartingale terurai secara unik menjadi martingale lokal ditambah proses peningkatan yang dapat diprediksi, dan variasi kuadratik dari martingale lokal kontinu adalah proses yang dapat diprediksi yang pengurangannya membuat kuadratnya menjadi martingale, menyediakan ukuran varians untuk integral stokastik.

Integral stokastik dan representasi martingale

Integral stokastik dari proses yang dapat diprediksi terhadap martingale yang dapat diintegrasikan kuadrat itu sendiri adalah martingale dengan variasi kuadratik yang dapat dihitung, dan teorema representasi martingale menunjukkan bahwa setiap martingale Brownian adalah integral semacam itu, dasar dari lindung nilai dalam keuangan.

Clinical relevance

Integrasi stokastik berbasis martingale adalah fondasi matematis dari integral Ito dan persamaan diferensial stokastik, teori penyaringan, serta penetapan harga bebas arbitrase dan lindung nilai dalam keuangan matematis, di mana teorema representasi martingale menghasilkan strategi replikasi untuk sekuritas derivatif.

History

Doob mengemukakan dekomposisi yang dibuktikan oleh Meyer pada tahun 1962, sekolah Strasbourg yang dipimpin oleh Meyer mengembangkan teori umum semimartingales dan integrasi stokastik pada tahun 1960-an dan 1970-an, dan karya Kunita dan Watanabe tentang martingales yang dapat diintegrasikan kuadrat menyatukan integral terhadap integrator martingale umum.

Key figures

• Joseph Doob
• Paul-Andre Meyer
• Kiyosi Ito
• Hiroshi Kunita

Seminal works

• karatzasShreve1991

Frequently asked questions

Mengapa mengintegrasikan terhadap martingales daripada fungsi biasa?

Jalur martingale terlalu tidak beraturan untuk diintegrasikan dalam pengertian biasa, tetapi fluktuasi terkontrolnya, yang diukur dengan variasi kuadratik, memungkinkan integral probabilistik yang itu sendiri adalah martingale dan mendasari kalkulus stokastik.

Apa itu variasi kuadratik?

Ini adalah batas dari jumlah kuadrat kenaikan suatu proses di atas partisi yang lebih halus; untuk jalur martingale umumnya tidak nol dan bertindak sebagai jam varians alami untuk integrasi stokastik.