अभिलाक्षणिक फलन
एक यादृच्छिक चर का अभिलाक्षणिक फलन एक जटिल घातांक की प्रत्याशा है, जो इसके वितरण का फूरियर रूपांतरण है; यह हमेशा मौजूद होता है, वितरण को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है, और स्वतंत्रता को गुणन में परिवर्तित करता है।
Definition
एक यादृच्छिक चर का अभिलाक्षणिक फलन चर के जटिल घातांक का अपेक्षित मान है जो एक वास्तविक तर्क से गुणा किया जाता है, जो इसके वितरण के फूरियर रूपांतरण के समतुल्य है, जो प्रत्येक वितरण के लिए मौजूद होता है और इसे विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है।
Scope
यह विषय अभिलाक्षणिक फलन की परिभाषा और प्राथमिक गुणों, इसकी विशिष्टता और व्युत्क्रमण प्रमेयों, स्वतंत्र चरों के योग के अभिलाक्षणिक फलन के गुणनखंडन, फलन की सुगमता और वितरण के आघूर्णों के बीच संबंध, बोचनर के अभिलाक्षणिक फलनों के लक्षण वर्णन, और लेवी के निरंतरता प्रमेय को शामिल करता है जो बिंदुवार अभिसरण को वितरण में अभिसरण से जोड़ता है।
Core questions
- जब आघूर्ण मौजूद नहीं हो सकते हैं तो प्रत्येक वितरण में एक अभिलाक्षणिक फलन क्यों होता है?
- अभिलाक्षणिक फलन वितरण को कैसे निर्धारित करता है और उसे पुनः प्राप्त करने की अनुमति कैसे देता है?
- स्वतंत्र चरों के योग का अभिलाक्षणिक फलन गुणनखंडित क्यों होता है?
- अभिलाक्षणिक फलनों का अभिसरण वितरणों के अभिसरण से कैसे संबंधित है?
Key concepts
- माप का फूरियर रूपांतरण
- विशिष्टता और व्युत्क्रमण
- लेवी निरंतरता प्रमेय
- बोचनर का प्रमेय
- व्युत्पन्न से आघूर्ण
Key theories
- विशिष्टता और व्युत्क्रमण
- विभिन्न वितरणों में अलग-अलग अभिलाक्षणिक फलन होते हैं, और एक व्युत्क्रमण सूत्र इसके अभिलाक्षणिक फलन से वितरण को पुनः प्राप्त करता है, इसलिए रूपांतरण एक यादृच्छिक चर के नियम का एक विश्वसनीय और व्युत्क्रमणीय एन्कोडिंग है।
- लेवी निरंतरता प्रमेय
- वितरणों का एक अनुक्रम वितरण में अभिसरण करता है यदि और केवल यदि उनके अभिलाक्षणिक फलन मूल पर एक सतत फलन में बिंदुवार अभिसरण करते हैं, जो तब सीमा का अभिलाक्षणिक फलन होता है; यह सीमा प्रमेयों का मानक मार्ग है।
- स्वतंत्र चरों के योग के लिए गुणनखंडन
- क्योंकि प्रत्याशा स्वतंत्र चरों पर गुणनखंडित होती है, स्वतंत्र चरों के योग का अभिलाक्षणिक फलन उनके अभिलाक्षणिक फलनों का गुणनफल होता है, जो वितरणों के संवलन को सामान्य गुणन से प्रतिस्थापित करता है।
Clinical relevance
अभिलाक्षणिक फलन केंद्रीय सीमा प्रमेय और अन्य सीमा नियमों को सिद्ध करने के लिए मुख्य उपकरण हैं, वे सिग्नल प्रोसेसिंग से लेकर बीमांकिक विज्ञान तक के क्षेत्रों में स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योगों को विश्लेषणात्मक रूप से सुगम बनाते हैं, और उनका व्युत्क्रमण विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए संख्यात्मक विधियों का आधार है जहां अभिलाक्षणिक फलन बंद रूप में ज्ञात होता है।
History
अभिलाक्षणिक फलनों का उपयोग लाप्लास और कॉची द्वारा किया गया था और पॉल लेवी द्वारा संभाव्यता का व्यवस्थित उपकरण बनाया गया था, जिनके निरंतरता प्रमेय ने सीमा प्रमेयों के प्रमाण को इन रूपांतरणों के बिंदुवार अभिसरण के अध्ययन में बदल दिया; बोचनर ने ठीक-ठीक उन फलनों का लक्षण वर्णन किया जो इस तरह उत्पन्न होते हैं।
Key figures
- Paul Levy
- Aleksandr Lyapunov
- Salomon Bochner
- Eugene Lukacs
Related topics
Seminal works
- feller1971
Frequently asked questions
- अभिलाक्षणिक फलन आघूर्ण जनरेटिंग फलन से कैसे भिन्न होता है?
- अभिलाक्षणिक फलन एक काल्पनिक घातांक का उपयोग करता है और इसलिए प्रत्येक वितरण के लिए मौजूद होता है, जबकि आघूर्ण जनरेटिंग फलन एक वास्तविक घातांक का उपयोग करता है और भारी-पूंछ वाले वितरणों के लिए मौजूद होने में विफल हो सकता है; अभिलाक्षणिक फलन अधिक मजबूत उपकरण है।
- निरंतरता प्रमेय में अभिसरण की जांच केवल मूल पर क्यों की जाती है?
- मूल पर सीमा की निरंतरता अनंत तक संभाव्यता द्रव्यमान के पलायन को रोकती है, यह सुनिश्चित करती है कि सीमित फलन स्वयं एक वास्तविक अभिलाक्षणिक फलन है न कि एक दोषपूर्ण वितरण का।