बिंदु आकलन
बिंदु आकलन इस बात का अध्ययन करता है कि किसी अज्ञात प्राचल के एकल सर्वोत्तम अनुमान द्वारा डेटा को कैसे संक्षेपित किया जाए, और यह कैसे निर्धारित किया जाए कि एक आकलनकर्ता दूसरे से बेहतर है या नहीं।
Definition
बिंदु आकलन सांख्यिकीय अनुमान की वह शाखा है जो किसी अज्ञात जनसंख्या प्राचल के सर्वोत्तम उपलब्ध सन्निकटन के रूप में एक एकल मान, जिसे बिंदु अनुमान कहा जाता है, उत्पन्न करने के लिए प्रेक्षित डेटा का उपयोग करने से संबंधित है।
Scope
यह क्षेत्र पर्याप्त और पूर्ण सांख्यिकी के माध्यम से डेटा को कम करने, अधिकतम संभावना और क्षणों की विधि द्वारा आकलनकर्ताओं के निर्माण, पूर्वाग्रह, प्रसरण और माध्य वर्ग त्रुटि के माध्यम से आकलनकर्ताओं के मूल्यांकन, क्रैमर-राव सूचना सीमा और दक्षता की धारणा, न्यूनतम-प्रसरण निष्पक्ष आकलनकर्ताओं के लिए राव-ब्लैकवेल और लेहमन-शेफ़े मार्गों, और बेयस और संकुचन आकलनकर्ताओं को शामिल करता है जो कम जोखिम के लिए पूर्वाग्रह का व्यापार करते हैं।
Sub-topics
Core questions
- प्राचल के बारे में जानकारी खोए बिना एक नमूने को पर्याप्त सांख्यिकी तक कैसे कम किया जा सकता है?
- एक आकलनकर्ता को दूसरे से बेहतर क्या बनाता है, और माध्य वर्ग त्रुटि में पूर्वाग्रह और प्रसरण कैसे संयोजित होते हैं?
- एक निष्पक्ष आकलनकर्ता का प्रसरण कितना कम हो सकता है, और वह सीमा कब प्राप्त होती है?
- जब किसी आकलनकर्ता को पूर्व या एक निश्चित बिंदु की ओर संकुचित किया जाता है तो उसका समग्र जोखिम कब कम होता है?
Key theories
- पर्याप्तता और गुणनखंड प्रमेय
- एक पर्याप्त सांख्यिकी एक प्राचल के बारे में सभी नमूना जानकारी को कैप्चर करती है; गुणनखंड प्रमेय इस बात से पर्याप्तता की पहचान करता है कि संभावना डेटा और प्राचल पर कैसे निर्भर करती है, और पूर्णता निष्पक्ष आकलनकर्ताओं की विशिष्टता प्रदान करती है।
- अधिकतम संभावना आकलन
- उस प्राचल का आकलन करना जो प्रेक्षित डेटा को सबसे अधिक संभावित बनाता है; नियमितता की शर्तों के तहत अधिकतम संभावना आकलनकर्ता सुसंगत, स्पर्शोन्मुख रूप से सामान्य और स्पर्शोन्मुख रूप से कुशल होता है।
- क्रैमर-राव सीमा और दक्षता
- किसी भी निष्पक्ष आकलनकर्ता का प्रसरण फिशर सूचना के व्युत्क्रम से नीचे बंधा होता है; इस सीमा को प्राप्त करने वाला आकलनकर्ता कुशल होता है, और राव-ब्लैकमेल और लेहमन-शेफ़े प्रमेय न्यूनतम-प्रसरण निष्पक्ष आकलनकर्ताओं का निर्माण करते हैं।
Clinical relevance
बिंदु आकलनकर्ता अनुप्रयुक्त मात्रात्मक विज्ञान के मुख्य आधार हैं: अधिकतम संभावना सांख्यिकीय और मशीन-लर्निंग मॉडल के फिटिंग को रेखांकित करती है, संकुचन आकलनकर्ता उच्च-आयामी समस्याओं में भविष्यवाणी में सुधार करते हैं, और फिशर सूचना यह नियंत्रित करती है कि प्रयोग कितनी सटीकता से एक प्राचल को हल कर सकते हैं, जिससे नमूना-आकार और प्रायोगिक-डिजाइन निर्णयों को सूचित किया जा सके।
History
फिशर ने 1920 के दशक में संभावना, पर्याप्तता, सूचना और दक्षता की शुरुआत की, जिससे आकलन के आधुनिक सिद्धांत की स्थापना हुई। राव और क्रैमर ने लगभग 1945 में प्रसरण सीमा स्थापित की, राव और ब्लैकमेल और बाद में लेहमन और शेफ़े ने निष्पक्ष-आकलन सिद्धांत को पूरा किया, और तीन या अधिक आयामों में अस्वीकार्यता की स्टीन की 1956 की खोज ने संकुचन के अध्ययन को खोला।
Key figures
- Ronald A. Fisher
- Calyampudi Radhakrishna Rao
- Erich L. Lehmann
- Charles Stein
Related topics
Seminal works
- lehmannCasella1998
Frequently asked questions
- एक आकलनकर्ता और एक अनुमान में क्या अंतर है?
- एक आकलनकर्ता डेटा का एक नियम या कार्य है, जिसे डेटा देखे जाने से पहले एक यादृच्छिक चर के रूप में देखा जाता है; एक अनुमान वह विशेष संख्यात्मक मान है जिसे आकलनकर्ता डेटा देखे जाने के बाद लेता है।
- क्या एक निष्पक्ष आकलनकर्ता हमेशा सबसे अच्छा विकल्प होता है?
- आवश्यक नहीं। एक पक्षपाती आकलनकर्ता का माध्य वर्ग त्रुटि सर्वोत्तम निष्पक्ष आकलनकर्ता की तुलना में कम हो सकता है, यही कारण है कि जब शून्य पूर्वाग्रह की तुलना में समग्र सटीकता अधिक मायने रखती है तो संकुचन और बेयस आकलनकर्ताओं को अक्सर प्राथमिकता दी जाती है।