अनभिनत आकलन और क्रैमर-राव बाउंड

उन आकलनकर्ताओं में जो औसतन सही होते हैं, क्रैमर-राव असमानता विचरण पर एक निचली सीमा निर्धारित करती है, और राव-ब्लैकवेल तथा लेहमन-शेफ़े प्रमेय यह दर्शाते हैं कि इसे कैसे प्राप्त किया जाए।

Definition

एक आकलनकर्ता अनभिनत होता है यदि उसका अपेक्षित मान प्रत्येक मापदंड मान के लिए मापदंड के बराबर होता है; क्रैमर-राव बाउंड बताता है कि किसी भी अनभिनत आकलनकर्ता का विचरण फिशर सूचना के व्युत्क्रम से कम नहीं होता है।

Scope

यह विषय अनभिनतता और उसकी सीमाओं, एक और कई मापदंडों के लिए फिशर सूचना, एक अनभिनत आकलनकर्ता के विचरण पर क्रैमर-राव निचली सीमा, सीमा प्राप्त करने की शर्तें, पर्याप्त सांख्यिकी पर कंडीशनिंग द्वारा एक आकलनकर्ता में सुधार पर राव-ब्लैकवेल प्रमेय, और पूर्ण पर्याप्त सांख्यिकी के माध्यम से अद्वितीय न्यूनतम-विचरण अनभिनत आकलनकर्ता की पहचान करने वाले लेहमन-शेफ़े प्रमेय को शामिल करता है।

Core questions

• फिशर सूचना क्या है, और यह डेटा में उपलब्ध परिशुद्धता को कैसे मापती है?
• कोई भी अनभिनत आकलनकर्ता क्रैमर-राव बाउंड से कम विचरण क्यों नहीं रख सकता, और यह बाउंड कब प्राप्त होता है?
• राव-ब्लैकवेल के माध्यम से, पर्याप्त सांख्यिकी पर कंडीशनिंग विचरण को कैसे कम करता है?
• लेहमन-शेफ़े के माध्यम से, पूर्णता और पर्याप्तता एक साथ मिलकर सबसे अच्छे अनभिनत आकलनकर्ता को कैसे चुनते हैं?

Key theories

क्रैमर-राव सूचना असमानता

नियमितता की शर्तों के तहत एक अनभिनत आकलनकर्ता का विचरण फिशर सूचना के व्युत्क्रम से नीचे बंधा होता है, जो इस सीमा की प्राप्ति को दक्षता के रूप में परिभाषित करता है।

राव-ब्लैकवेल और लेहमन-शेफ़े प्रमेय

किसी भी अनभिनत आकलनकर्ता को पर्याप्त सांख्यिकी पर कंडीशनिंग करने से उसका विचरण कभी नहीं बढ़ता; यदि वह सांख्यिकी पूर्ण भी है, तो परिणाम अद्वितीय न्यूनतम-विचरण अनभिनत आकलनकर्ता होता है।

Clinical relevance

क्रैमर-राव बाउंड और फिशर सूचना एक प्रयोग की मूलभूत परिशुद्धता सीमा निर्धारित करते हैं, इष्टतम प्रायोगिक डिज़ाइन और सेंसर अंशांकन का मार्गदर्शन करते हैं, जबकि न्यूनतम-विचरण अनभिनत आकलनकर्ता बेंचमार्क अनुमान प्रदान करते हैं जिनके विरुद्ध व्यावहारिक प्रक्रियाओं की तुलना की जाती है।

History

क्रैमर और राव ने स्वतंत्र रूप से लगभग 1945 में विचरण सीमा स्थापित की। राव और ब्लैकवेल का कंडीशनिंग द्वारा सुधार का परिणाम और लेहमन और शेफ़े का अद्वितीयता प्रमेय 1940 के दशक के अंत और 1950 के दशक की शुरुआत में आया, जिसने अनभिनत आकलन के शास्त्रीय सिद्धांत को पूरा किया।

Key figures

• Calyampudi Radhakrishna Rao
• Harald Cramer
• David Blackwell
• Henry Scheffe

Seminal works

• lehmannCasella1998

Frequently asked questions

क्या क्रैमर-राव बाउंड हमेशा प्राप्त किया जा सकता है?

नहीं। यह केवल विशेष मामलों में प्राप्त होता है, मुख्य रूप से घातीय परिवारों में; सामान्य तौर पर न्यूनतम-विचरण अनभिनत आकलनकर्ता का विचरण बाउंड से सख्ती से अधिक हो सकता है।

फिशर सूचना क्या मापती है?

यह मापती है कि संभावना मापदंड में परिवर्तनों के प्रति कितनी तीव्रता से प्रतिक्रिया करती है, और इस प्रकार डेटा में इसके बारे में कितनी जानकारी होती है; बड़ी फिशर सूचना अधिक सटीक आकलन की अनुमति देती है।