पर्याप्तता और पूर्णता

एक पर्याप्त सांख्यिकी (sufficient statistic) प्राचल (parameter) के बारे में किसी भी जानकारी को छोड़े बिना एक नमूने को संपीड़ित करती है; पूर्णता (completeness) उस विशिष्टता को जोड़ती है जो ऐसे संपीड़न को इष्टतम अनुमान में बदल देती है।

Definition

एक सांख्यिकी एक प्राचल के लिए पर्याप्त होती है यदि सांख्यिकी दिए गए डेटा का सशर्त वितरण (conditional distribution) प्राचल पर निर्भर नहीं करता है; यह पूर्ण होती है यदि इसके किसी भी गैर-तुच्छ फलन (nontrivial function) का प्रत्येक प्राचल मान के लिए अपेक्षित मान (expectation) शून्य न हो।

Scope

यह विषय पर्याप्तता की परिभाषा, फिशर-नेमैन गुणनखंडन प्रमेय (Fisher-Neyman factorization theorem), न्यूनतम पर्याप्त सांख्यिकी और उन्हें कैसे खोजा जाए, पूर्ण और परिबद्ध-पूर्ण सांख्यिकी, घातीय परिवार (exponential family) की भूमिका, सहायक सांख्यिकी (ancillary statistics), और किसी भी सहायक सांख्यिकी से एक पूर्ण पर्याप्त सांख्यिकी की स्वतंत्रता पर बासु के प्रमेय (Basu's theorem) को शामिल करता है।

Core questions

• गुणनखंडन प्रमेय किसी को संभाव्यता से सीधे पर्याप्तता को कैसे पढ़ने देता है?
• एक न्यूनतम पर्याप्त सांख्यिकी क्या है, और इसे कैसे निर्मित किया जाता है?
• पूर्णता क्यों गारंटी देती है कि सांख्यिकी का एक निष्पक्ष फलन अद्वितीय है?
• बासु का प्रमेय गणना के बिना स्वतंत्रता को सिद्ध करने के लिए पूर्णता का उपयोग कैसे करता है?

Key theories

गुणनखंडन प्रमेय

एक सांख्यिकी पर्याप्त होती है यदि और केवल यदि संयुक्त घनत्व (joint density) उस सांख्यिकी और प्राचल के माध्यम से केवल डेटा पर निर्भर करने वाले एक भाग में, और केवल डेटा पर निर्भर करने वाले एक भाग में गुणनखंडित होता है।

पूर्णता और बासु का प्रमेय

पूर्णता सांख्यिकी पर आधारित निष्पक्ष अनुमानकों की विशिष्टता सुनिश्चित करती है; बासु का प्रमेय कहता है कि एक पूर्ण पर्याप्त सांख्यिकी प्रत्येक सहायक सांख्यिकी से स्वतंत्र होती है।

Clinical relevance

डेटा को एक पर्याप्त सांख्यिकी तक कम करना सूचना के नुकसान के बिना बड़े डेटासेट को कुछ संख्याओं द्वारा सारांशित करने को उचित ठहराता है, जो कुशल भंडारण, सारांश रिपोर्ट के डिजाइन और अनुप्रयुक्त सांख्यिकी में उपयोग किए जाने वाले इष्टतम अनुमानकों के निर्माण का आधार है।

History

फिशर ने 1922 में पर्याप्तता को उस गुण के रूप में प्रस्तुत किया कि एक सांख्यिकी कोई जानकारी नहीं खोती है। नेमैन ने गुणनखंडन मानदंड दिया, और लेहमन और शेफे ने 1950 के दशक में पूर्णता विकसित की; बासु ने 1955 में अपना स्वतंत्रता प्रमेय सिद्ध किया, जिसने इन अवधारणाओं को एक साथ जोड़ा।

Key figures

• Ronald A. Fisher
• Jerzy Neyman
• Debabrata Basu
• Erich L. Lehmann

Seminal works

• lehmannCasella1998

Frequently asked questions

एक पर्याप्त सांख्यिकी क्यों उपयोगी है?

यह आपको पूर्ण डेटासेट को एक छोटे सारांश से बदलने देता है, जबकि डेटा द्वारा प्राचल के बारे में ले जाने वाली हर जानकारी को बनाए रखता है, जिससे बिना किसी नुकसान के अनुमान को सरल बनाया जा सकता है।

एक सहायक सांख्यिकी क्या है?

एक सांख्यिकी जिसका वितरण प्राचल पर निर्भर नहीं करता है; बासु के प्रमेय के अनुसार यह किसी भी पूर्ण पर्याप्त सांख्यिकी से स्वतंत्र होती है, जिसका उपयोग अक्सर संभाव्यता गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है।