नोएथर का प्रमेय और समरूपताएँ
नोएथर का प्रमेय यह स्थापित करता है कि किसी प्रणाली की क्रिया की प्रत्येक सतत समरूपता एक संरक्षित मात्रा के अनुरूप होती है, जिससे संरक्षण नियमों को एक गहरा संरचनात्मक मूल प्राप्त होता है।
Definition
नोएथर का प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सतत एक-पैरामीटर समरूपता के लिए जो क्रिया को अपरिवर्तित छोड़ती है, एक संगत मात्रा होती है जो प्रणाली की गति के साथ संरक्षित रहती है।
Scope
यह विषय यांत्रिक प्रणालियों के लिए नोएथर के प्रमेय के कथन और अर्थ, विशिष्ट समरूपताओं का विशिष्ट संरक्षण नियमों से मानचित्रण, समय-स्थानांतरण अपरिवर्तनीयता का ऊर्जा से, स्थानिक-स्थानांतरण अपरिवर्तनीयता का रैखिक संवेग से, और घूर्णी अपरिवर्तनीयता का कोणीय संवेग से संबंध, और लैग्रेंजियन पर कार्य करने वाले सतत समरूपता समूहों की सामान्य धारणा को शामिल करता है।
Core questions
- किसी समरूपता के लिए क्रिया को अपरिवर्तित छोड़ने का क्या अर्थ है?
- स्थानांतरण, घूर्णन और समय-स्थानांतरण समरूपता के अनुरूप कौन सी संरक्षित मात्राएँ हैं?
- संरक्षण नियमों का समरूपता मूल शास्त्रीय यांत्रिकी से परे क्यों मायने रखता है?
Key concepts
- सतत समरूपता
- क्रिया की अपरिवर्तनीयता
- संरक्षित मात्रा (गति का स्थिरांक)
- समय-स्थानांतरण अपरिवर्तनीयता और ऊर्जा
- स्थानांतरण अपरिवर्तनीयता और संवेग
- घूर्णी अपरिवर्तनीयता और कोणीय संवेग
Key theories
- नोएथर का प्रमेय
- क्रिया की प्रत्येक सतत समरूपता एक संरक्षित धारा या मात्रा उत्पन्न करती है, जो एक एकल सिद्धांत प्रदान करती है जिससे शास्त्रीय संरक्षण नियम निकलते हैं।
- समरूपता-संरक्षण पत्राचार
- समय अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीयता ऊर्जा का संरक्षण देती है, स्थानिक अनुवाद के तहत रैखिक संवेग का संरक्षण देती है, और घूर्णन के तहत कोणीय संवेग का संरक्षण देती है।
Clinical relevance
समरूपता-संरक्षण सिद्धांत आधुनिक भौतिकी में मौलिक है: यह क्षेत्र सिद्धांत और कण भौतिकी में संरक्षण नियमों को व्यवस्थित करता है, जहाँ गेज समरूपताएँ संरक्षित आवेश उत्पन्न करती हैं, और यह भौतिक सिद्धांतों के निर्माण को उनकी समरूपता आवश्यकताओं से निर्देशित करता है।
History
एमी नोएथर ने 1918 में गोटिंगेन में अपने प्रमेय को सिद्ध किया, जब वे क्लेन और हिल्बर्ट के साथ सामान्य सापेक्षता में ऊर्जा के संरक्षण पर काम कर रही थीं। उनके परिणाम ने खुलासा किया कि शास्त्रीय संरक्षण नियम, जो पहले मामले-दर-मामले स्थापित किए गए थे, सभी क्रिया की सतत समरूपताओं से उत्पन्न होते हैं, एक एकीकरण जो बीसवीं सदी की भौतिकी के लिए केंद्रीय बन गया।
Key figures
- Emmy Noether
- Felix Klein
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- noether1918
- arnold1989
Frequently asked questions
- क्या नोएथर का प्रमेय केवल शास्त्रीय यांत्रिकी पर लागू होता है?
- नहीं। यह परिवर्तनशील प्रणालियों के बारे में एक सामान्य परिणाम है और शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत पर समान रूप से लागू होता है और, इसके क्वांटम अनुरूपों में, कण भौतिकी में संरक्षित आवेशों और चयन नियमों को रेखांकित करता है।
- ऊर्जा का संरक्षण कौन सी समरूपता देती है?
- समय में अनुवाद के तहत प्रणाली की अपरिवर्तनीयता, जिसका अर्थ है कि नियम एक पल से अगले पल तक नहीं बदलते हैं, नोएथर के प्रमेय द्वारा ऊर्जा के संरक्षण के अनुरूप है।