जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएँ
जन्म-मृत्यु प्रक्रिया एक सतत-समय मार्कोव श्रृंखला है जो पूर्णांकों पर आधारित होती है और एक समय में एक से बढ़ती या घटती है, जिसमें जन्म और मृत्यु दर वर्तमान जनसंख्या के आकार पर निर्भर करती है।
Definition
जन्म-मृत्यु प्रक्रिया गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर एक सतत-समय मार्कोव श्रृंखला है जिसके एकमात्र संक्रमण एक राज्य-निर्भर जन्म दर पर एक से ऊपर की ओर और एक राज्य-निर्भर मृत्यु दर पर एक से नीचे की ओर होते हैं, इसलिए इसके नमूना पथ इकाई चरणों से बदलते हैं।
Scope
यह विषय निकटतम-पड़ोसी संक्रमण दरों की संरचना, शुद्ध जन्म और शुद्ध मृत्यु प्रक्रियाओं के विशेष मामले, क्षणिक समाधान और विलुप्त होने की संभावनाएँ, विस्तृत संतुलन से प्राप्त स्थिर वितरण, और M/M/1 और M/M/c प्रणालियों सहित जनसंख्या और कतारों के अनुप्रयोगों को शामिल करता है।
Core questions
- राज्य-निर्भर जन्म और मृत्यु दर गतिकी को कैसे निर्धारित करती हैं?
- जन्म-मृत्यु प्रक्रिया में स्थिर वितरण कब होता है, और इसका स्वरूप क्या होता है?
- विलुप्त होने और विस्फोट की संभावनाओं की गणना कैसे की जाती है?
- कतार प्रणाली जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं के रूप में कैसे उत्पन्न होती हैं?
Key theories
- विस्तृत संतुलन और स्थिर वितरण
- चूंकि संक्रमण पड़ोसी राज्यों में होते हैं, एक जन्म-मृत्यु प्रक्रिया प्रतिवर्ती होती है और इसका स्थिर वितरण विस्तृत संतुलन समीकरणों से क्रमिक जन्म-से-मृत्यु दर अनुपातों के गुणनफल के रूप में स्पष्ट रूप से प्राप्त होता है।
- विलुप्त होने और अवशोषण विश्लेषण
- पहले-चरण और जनरेटिंग-फ़ंक्शन तर्क विलुप्त होने की संभावनाएँ और अवशोषण के अपेक्षित समय देते हैं जब शून्य एक अवशोषित अवस्था होती है, यह दर्शाते हुए कि क्या कोई आबादी मर जाती है और कितनी जल्दी।
Clinical relevance
जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएँ जैविक आबादी, संक्रमणों के प्रसार और समाशोधन, एक कतार में ग्राहकों की संख्या और संचार चैनलों के अधिभोग का मॉडल बनाती हैं; M/M/1 कतार, स्थिर आगमन और सेवा दरों के साथ एक जन्म-मृत्यु प्रक्रिया, इस विषय को कतार सिद्धांत से जोड़ने वाला एक प्रामाणिक उदाहरण है।
History
शुद्ध जन्म प्रक्रिया को 1925 में यूल द्वारा जैविक वंशों के विकास को मॉडल करने के लिए प्रस्तुत किया गया था, फेलर ने 1930 और 1940 के दशक में सामान्य जन्म-मृत्यु प्रक्रियाओं का विश्लेषण किया, और एर्लांग और उनके उत्तराधिकारियों के टेलीफोन यातायात पर काम के माध्यम से यह ढाँचा कतार सिद्धांत के लिए केंद्रीय बन गया।
Key figures
- William Feller
- George Udny Yule
- Alfred Lotka
Related topics
Seminal works
- karlinTaylor1975
Frequently asked questions
- एक प्रक्रिया को जन्म-मृत्यु प्रक्रिया क्या बनाती है?
- यह पूर्णांकों पर एक सतत-समय मार्कोव श्रृंखला है जिसके संक्रमण केवल निकटतम पड़ोसियों की ओर बढ़ते हैं, जन्म और मृत्यु दरों के अनुसार गिनती को एक से बढ़ाते या घटाते हैं।
- जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएँ हमेशा प्रतिवर्ती क्यों होती हैं?
- क्योंकि राज्य स्थान रैखिक होता है और संक्रमण केवल आसन्न राज्यों के बीच होते हैं, किसी भी दो पड़ोसियों के बीच का प्रवाह संतुलन में होता है, इसलिए विस्तृत संतुलन समीकरण मान्य होते हैं और सीधे स्थिर वितरण देते हैं।