معادلات دیفرانسیل تصادفی
یک معادله دیفرانسیل تصادفی، تکامل سیستمی را توصیف میکند که تحت تأثیر یک رانش قطعی و یک نوسان تصادفی ناشی از حرکت براونی قرار دارد و یک فرآیند انتشار را تعریف میکند.
Definition
یک معادله دیفرانسیل تصادفی، دیفرانسیل یک فرآیند را به عنوان ضریب رانش ضربدر یک افزایش زمانی به علاوه ضریب انتشار ضربدر یک افزایش براونی مشخص میکند، و راهحل آن یک فرآیند انتشار است که قانون آن توسط عملگر دیفرانسیل مرتبه دوم مرتبط کنترل میشود.
Scope
این موضوع شامل تفسیر معادلات دیفرانسیل تصادفی به عنوان معادلات انتگرال ایتو، وجود و یکتایی راهحلهای قوی تحت شرایط لیپشیتس و رشد، تمایز بین راهحلهای قوی و ضعیف، مولد انتشار و ارتباط آن با معادلات فوکر-پلانک و کولموگروف پسرو، قضایای فاینمن-کاک و گیرسانوف، و طرحهای عددی مانند روشهای اویلر-مارویاما و میلشتاین میشود.
Core questions
- چگونه یک معادله دیفرانسیل تصادفی به عنوان یک معادله انتگرال ایتو تفسیر میشود؟
- چه شرایطی وجود و یکتایی یک راهحل را تضمین میکند؟
- چگونه مولد انتشار به معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبط است؟
- چگونه راهحلها به صورت عددی و با چه دقتی تقریب زده میشوند؟
Key theories
- وجود و یکتایی راهحلهای قوی
- تحت پیوستگی لیپشیتس و رشد خطی ضرایب رانش و انتشار، معادله دیفرانسیل تصادفی دارای یک راهحل قوی منحصر به فرد است که یک انتشار مارکوف پیوسته است، که با استفاده از یک تکرار از نوع پیکارد با استفاده از ایزومتری ایتو اثبات شده است.
- فاینمن-کاک و مولد
- مولد بینهایت کوچک انتشار یک عملگر بیضوی مرتبه دوم است، چگالی انتقال آن معادله فوکر-پلانک را حل میکند، و فرمول فاینمن-کاک راهحلهای معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی را به عنوان امید ریاضی تابعی از انتشار نمایش میدهد.
Clinical relevance
معادلات دیفرانسیل تصادفی قیمت داراییها، نرخ بهره، و نوسانات در امور مالی، دینامیک پر سر و صدای سیستمهای فیزیکی، شیمیایی و بیولوژیکی، و مدلهای جمعیتی و اپیدمی با تصادفی بودن محیطی را مدلسازی میکنند، در حالی که راهحل عددی آنها با استفاده از اویلر-مارویاما و طرحهای مرتبط، قیمتگذاری و شبیهسازی مونت کارلو را امکانپذیر میسازد.
History
ایتو در دهه 1940 معادلات دیفرانسیل تصادفی را برای ساخت فرآیندهای انتشار که مولدهای آنها عملگرهای بیضوی مشخصی هستند، معرفی کرد. استروک و وارادان در دهههای 1960 و 1970 این موضوع را از طریق مسئله مارتینگل بازتعریف کردند، و تحلیل عددی این معادلات توسط کلوئدن و پلاتن در دهه 1990 سیستماتیک شد.
Key figures
- Kiyosi Ito
- Bernt Oksendal
- Daniel Stroock
- Srinivasa Varadhan
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
Frequently asked questions
- یک معادله دیفرانسیل تصادفی چه چیزی را توصیف میکند؟
- این معادله فرآیندی را توصیف میکند که تحت یک رانش قابل پیشبینی به علاوه ضربههای تصادفی ناشی از حرکت براونی حرکت میکند و یک انتشار تولید میکند که توزیع احتمال آن طبق یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبط تکامل مییابد.
- تفاوت بین راهحل قوی و راهحل ضعیف چیست؟
- یک راهحل قوی بر اساس یک حرکت براونی و فیلتراسیون داده شده ساخته میشود، در حالی که یک راهحل ضعیف فقط به وجود یک حرکت براونی و فرآیند با قانون مشخص شده نیاز دارد؛ راهحلهای ضعیف میتوانند وجود داشته باشند در حالی که راهحلهای قوی وجود ندارند.