حرکت براونی و حسابان تصادفی
حرکت براونی یک فرایند تصادفی پیوسته است که افزایشهای آن مستقل و گاوسی هستند؛ حسابان تصادفی که بر پایه آن بنا شده است، قواعد انتگرالگیری و مشتقگیری را در طول مسیرهای نامنظم آن فراهم میکند.
Definition
حرکت براونی یک فرایند زمان-پیوسته با افزایشهای گاوسی مستقل و ایستا و مسیرهای پیوسته و هیچجا مشتقناپذیر است، و حسابان تصادفی نظریه انتگرالگیری و مشتقگیری نسبت به چنین فرایندهایی است که بر انتگرال ایتو و فرمول تغییر متغیرهای ایتو متمرکز است.
Scope
این حوزه شامل فرایند وینر و ویژگیهای مسیر آن، انتگرال تصادفی ایتو و فرمول ایتو، معادلات دیفرانسیل تصادفی و فرایندهای انتشار، ارتباط با معادلات دیفرانسیل جزئی از طریق فرمول فاینمن-کاک و معادله فوکر-پلانک، تغییر معیار گیرسانوف، و گسترش به فرایندهای لوی با پرشها میشود.
Sub-topics
Core questions
- چه ویژگیهایی حرکت براونی را مشخص میکنند و مسیرهای آن را تا این حد نامنظم میسازند؟
- چگونه انتگرالگیری در برابر حرکت براونی با وجود تغییرات بینهایت آن تعریف میشود؟
- فرمول ایتو چیست و چگونه جایگزین قاعده زنجیرهای معمولی میشود؟
- معادلات دیفرانسیل تصادفی و فرایندهای لوی چگونه چارچوب را گسترش میدهند؟
Key theories
- انتگرال ایتو و فرمول ایتو
- انتگرال ایتو انتگرالگیری در برابر حرکت براونی را با بهرهگیری از خاصیت مارتینگل و تغییرات درجه دوم که برابر با زمان سپری شده است، تعریف میکند، و فرمول ایتو یک قاعده تغییر متغیرها را با یک جمله مشتق دوم اضافی ارائه میدهد که منعکسکننده آن تغییرات است.
- انتشارها و ارتباط با معادلات دیفرانسیل جزئی
- راهحلهای معادلات دیفرانسیل تصادفی، انتشارهای مارکوف هستند که چگالیهای انتقال آنها معادلات فوکر-پلانک و کولموگوروف پسرو را حل میکنند، و فرمول فاینمن-کاک راهحلهای معادلات سهموی را به عنوان امید ریاضی در مسیرهای انتشار نشان میدهد.
Clinical relevance
حرکت براونی و حسابان تصادفی انتشار ذرات و گرما، نوسانات تصادفی قیمت داراییها در نظریه قیمتگذاری اختیار معامله بلک-شولز، نویز در سیستمهای فیزیکی و مهندسی، و فیلتر کردن سیگنالهای نویزدار را مدلسازی میکنند و از این رو در فیزیک، مالی و کنترل ضروری هستند.
History
براون حرکت نامنظم دانههای گرده را در سال ۱۸۲۷ مشاهده کرد، اینشتین و اسمولوخوفسکی نظریه فیزیکی آن را در حدود سال ۱۹۰۵ ارائه دادند، باچلیه قبلاً در سال ۱۹۰۰ از آن برای امور مالی استفاده کرده بود، وینر آن را به طور دقیق در سال ۱۹۲۳ ساخت، و ایتو حسابان تصادفی را در دهه ۱۹۴۰ ایجاد کرد که آن را به یک ابزار محاسباتی تبدیل کرد.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- چرا نمیتوان از حسابان معمولی برای حرکت براونی استفاده کرد؟
- مسیرهای براونی دارای تغییرات کلی بینهایت هستند و هیچجا مشتقپذیر نیستند، بنابراین انتگرالهای معمولی و قاعده زنجیرهای کلاسیک کار نمیکنند؛ حسابان تصادفی ایتو جایگزینهایی را ارائه میدهد که تغییرات درجه دوم را در نظر میگیرند.
- فرمول ایتو چیست؟
- این فرمول آنالوگ تصادفی قاعده زنجیرهای برای توابع حرکت براونی یا انتشارها است که شامل یک جمله اضافی مربوط به مشتق دوم میشود که از تغییرات درجه دوم غیرصفر مسیرها ناشی میشود.