انتگرال ایتو
انتگرال ایتو با بهرهگیری از تغییرات درجه دوم متناهی و انتخاب هوشمندانه نقاط ارزیابی، به انتگرالگیری از یک فرآیند تصادفی در برابر حرکت براونی معنا میبخشد؛ کاری که حسابان معمولی به دلیل تغییرات نامتناهی مسیرهای براونی قادر به انجام آن نیست.
Definition
انتگرال ایتو یک فرآیند پیشبینیپذیر در برابر حرکت براونی، حد، در میانگین مربع، مجموعهای تقریبی است که انتگرالده را در نقطه پایانی چپ هر زیربازه ارزیابی میکند؛ این انتگرال ابتدا برای انتگرالدههای ساده تعریف شده و سپس با ایزومتری ایتو تعمیم مییابد.
Scope
این موضوع شامل ساخت انتگرال ایتو ابتدا برای انتگرالدههای پیشبینیپذیر ساده و سپس با استفاده از ایزومتری ایتو برای انتگرالدههای مربع-انتگرالپذیر، تعمیم آن به مارتینگلهای محلی پیوسته، خاصیت مارتینگلی انتگرال و تغییرات درجه دوم آن، تفاوت بین قراردادهای ایتو و استراتونوویچ، و نقش پیشبینیپذیری و انتخاب غیرپیشبینانه نقاط پایانی چپ میشود.
Core questions
- چرا انتگرالگیری در برابر حرکت براونی به تعریف جدیدی نیاز دارد؟
- چگونه ایزومتری ایتو باعث کارایی این ساختار میشود؟
- چرا انتگرالده باید در نقطه پایانی چپ ارزیابی شود و پیشبینیپذیری چه چیزی را تضمین میکند؟
- انتگرال ایتو چه تفاوتی با انتگرال استراتونوویچ دارد؟
Key concepts
- انتگرالده پیشبینیپذیر
- ایزومتری ایتو
- تغییرات درجه دوم
- خاصیت مارتینگلی
- ایتو در برابر استراتونوویچ
Key theories
- ایزومتری و ساختار ایتو
- برای انتگرالدههای پیشبینیپذیر مربع-انتگرالپذیر، میانگین مربع انتگرال ایتو برابر با انتگرال زمانی مورد انتظار انتگرالده مربع شده است، یک ایزومتری که اجازه میدهد انتگرال برای فرآیندهای ساده تعریف شده و با کامل بودن به طبقه بزرگی از انتگرالدهها تعمیم یابد.
- خاصیت مارتینگلی انتگرال
- انتگرال ایتو یک فرآیند پیشبینیپذیر مناسب در برابر حرکت براونی، خود یک مارتینگل پیوسته با تغییرات درجه دوم است که توسط انتگرال زمانی انتگرالده مربع شده داده میشود، که این امر قرارداد نقطه پایانی چپ و غیرپیشبینانه را طبیعی میسازد.
Clinical relevance
انتگرال ایتو شیء ریاضی است که نشاندهنده سود حاصل از یک استراتژی معاملاتی با بازتوازن مداوم در امور مالی ریاضی، اثر انباشته نویز در مدلهای سیستمهای فیزیکی و بیولوژیکی، و عبارت نوآوریها در فیلتر کردن تصادفی است؛ خاصیت مارتینگلی آن اساس تحلیلی قیمتگذاری بدون آربیتراژ است.
History
کیوسی ایتو انتگرال تصادفی را در دهه ۱۹۴۰ تعریف کرد تا به معادلات دیفرانسیل ناشی از حرکت براونی معنا بخشد، و استراتونوویچ بعدها یک قرارداد جایگزین با رفتار قاعده زنجیرهای معمولی معرفی کرد؛ ساختار ایتو، با خاصیت مارتینگلی خود، به استاندارد برای احتمال و امور مالی تبدیل شد.
Key figures
- Kiyosi Ito
- Ruslan Stratonovich
- Henry McKean
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
Frequently asked questions
- چرا انتگرالده در نقطه پایانی چپ ارزیابی میشود؟
- استفاده از نقطه پایانی چپ، انتگرالده را غیرپیشبینانه نگه میدارد، بنابراین نمیتواند به افزایش آینده حرکت براونی نگاه کند؛ این همان چیزی است که انتگرال حاصل را به یک مارتینگل تبدیل میکند و ماهیت علّی استراتژیها و کنترلها را منعکس میسازد.
- انتگرال ایتو چه تفاوتی با انتگرال استراتونوویچ دارد؟
- انتگرال استراتونوویچ انتگرالده را در نقطه میانی ارزیابی میکند و از قاعده زنجیرهای معمولی پیروی میکند اما یک مارتینگل نیست، در حالی که انتگرال ایتو از نقطه پایانی چپ استفاده میکند، یک مارتینگل است و از قاعده زنجیرهای اصلاح شده ایتو پیروی میکند؛ این دو با یک عبارت تصحیحکننده شامل تغییرات درجه دوم تفاوت دارند.