حرکت براونی و حساب تصادفی
حرکت براونی فرآیند تصادفی پیوسته-زمانی کانونی است و حساب ایتو که بر پایه آن بنا شده است، قواعد مشتقگیری و انتگرالگیری در طول مسیرهای ناهموار و غیرقابلاشتقاق آن را فراهم میکند که زبان مدلسازی تصادفی مدرن است.
Definition
حرکت براونی یک فرآیند با مسیر پیوسته و افزایشهای گاوسی مستقل و ایستا است، و حساب تصادفی نظریه انتگرالگیری و مشتقگیری نسبت به آن و مارتینگلهای پیوسته مرتبط است که بر انتگرال ایتو و فرمول ایتو متمرکز است.
Scope
این حوزه شامل ساختار و ویژگیهای مسیر حرکت براونی، مشخصههای مارتینگل و مارکوف آن، انتگرال تصادفی ایتو نسبت به حرکت براونی و مارتینگلهای پیوسته، فرمول ایتو به عنوان قاعده زنجیرهای حساب تصادفی، معادلات دیفرانسیل تصادفی و نظریه وجود و یکتایی آنها، و ارتباطات با معادلات دیفرانسیل جزئی از طریق فرمول فاینمن-کاک است.
Sub-topics
Core questions
- حرکت براونی چگونه ساخته میشود و ویژگیهای مسیر برجسته آن چیست؟
- چگونه میتوان نسبت به فرآیندی که مسیرهای آن دارای تغییرات نامحدود هستند، انتگرال گرفت؟
- هنگامی که انتگرالگیر حرکت براونی است، چه چیزی جایگزین قاعده زنجیرهای معمولی میشود؟
- معادلات دیفرانسیل تصادفی چگونه تعریف و حل میشوند؟
Key theories
- انتگرال ایتو و فرمول ایتو
- انتگرال ایتو، انتگرالگیری نسبت به حرکت براونی را با استفاده از تغییرات درجه دوم آن تعریف میکند، و فرمول ایتو قاعده زنجیرهای حاصل است که شامل یک جمله اضافی مرتبه دوم است که نشان میدهد تغییرات درجه دوم به صورت خطی در زمان انباشته میشود.
- معادلات دیفرانسیل تصادفی و فاینمن-کاک
- معادلات دیفرانسیل تصادفی که توسط حرکت براونی هدایت میشوند، تحت شرایط لیپشیتس و رشد، دارای حلهای قوی منحصر به فرد هستند، و فرمول فاینمن-کاک حلهای معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی مرتبط را به عنوان امید ریاضی بر روی این انتشارها نمایش میدهد.
Clinical relevance
حساب تصادفی مبنای ریاضی امور مالی پیوسته-زمان است، جایی که مدل بلک-شولز قیمتگذاری اختیار معاملهها را از طریق یک فرآیند ایتو انجام میدهد، و در فیزیک، جایی که انتشار و نویز را توصیف میکند، در مهندسی، جایی که زیربنای فیلتر و کنترل تصادفی است، و در زیستشناسی، جایی که دینامیک جمعیت و عصبی را تحت تصادفی بودن مدلسازی میکند، نفوذ کرده است.
History
حرکت براونی توسط رابرت براون مشاهده شد، به صورت فیزیکی توسط اینشتین و اسمولوخوفسکی مدلسازی شد، و به طور دقیق توسط نوربرت وینر در سال 1923 ساخته شد. کیوسی ایتو انتگرال تصادفی و فرمول ایتو را در دهه 1940 ایجاد کرد و حساب تصادفی را بنیان نهاد که بعدها برای امور مالی ریاضی ضروری شد.
Key figures
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
- Paul Levy
- Mark Kac
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
- revuz1999
Frequently asked questions
- چرا نمیتوان از حسابان معمولی برای حرکت براونی استفاده کرد؟
- مسیرهای براونی پیوسته اما در هیچ نقطهای مشتقپذیر نیستند و دارای تغییرات نامحدود هستند، بنابراین انتگرال ریمان-استیلتیس و قاعده زنجیرهای معمول قابل استفاده نیستند؛ حساب ایتو آنها را با ساختارهایی بر اساس تغییرات درجه دوم محدود مسیرها جایگزین میکند.
- جمله اضافی در فرمول ایتو چیست؟
- از آنجا که افزایشهای مربعی حرکت براونی با نرخ مشخصی انباشته میشوند و ناپدید نمیشوند، قاعده زنجیرهای تصادفی شامل یک جمله مشتق دوم متناسب با زمان سپری شده است که در حسابان معمولی مشابهی ندارد.