حساب ایتو و انتگرالگیری تصادفی
حساب ایتو انتگرالگیری و مشتقگیری را به فرآیندهایی که توسط حرکت براونی هدایت میشوند، گسترش میدهد و قاعده زنجیرهای معمولی را با فرمول ایتو جایگزین میکند که یک جمله اضافی از تغییرات درجه دوم را به همراه دارد.
Definition
انتگرال ایتو، انتگرال تصادفی یک فرآیند قابل پیشبینی در برابر حرکت براونی است که به گونهای تعریف میشود که یک مارتینگل با واریانس داده شده توسط ایزومتری ایتو باشد، و فرمول ایتو قاعده تغییر متغیرهای حاصل است که یک جمله مشتق دوم را اضافه میکند که منعکسکننده تغییرات درجه دوم انتگرالگیر است.
Scope
این موضوع شامل ساخت انتگرال ایتو به عنوان حد مجموع ریمان با نقاط انتهایی چپ در برابر حرکت براونی، ایزومتری ایتو، خاصیت مارتینگل انتگرال، فرمول ایتو برای توابع دیفیوژنها، قواعد چندبعدی و ضرب، مقایسه با انتگرال استراتونوویچ، و حساب تغییرات درجه دوم است که انتگرالگیری تصادفی را از انتگرالگیری معمولی متمایز میکند.
Core questions
- انتگرال ایتو چگونه ساخته میشود و چرا باید از نقاط انتهایی چپ استفاده شود؟
- ایزومتری ایتو چیست و چگونه واریانس انتگرال را کنترل میکند؟
- چه جمله اضافی فرمول ایتو را از قاعده زنجیرهای معمولی متمایز میکند؟
- انتگرال ایتو چه تفاوتی با انتگرال استراتونوویچ دارد؟
Key theories
- انتگرال ایتو و ایزومتری ایتو
- تعریف انتگرال با ارزیابیهای نقطه انتهایی چپ آن را به یک مارتینگل تبدیل میکند، و ایزومتری ایتو مربع انتگرال مورد انتظار را با انتگرال مورد انتظار مربع انتگرالدهنده برابر میکند و ساختار L2 و پایداری انتگرال را فراهم میآورد.
- فرمول ایتو
- برای یک تابع هموار از یک دیفیوژن، فرمول ایتو دیفرانسیل را به عنوان جمله گرادیان معمول به علاوه یک تصحیح شامل مشتق دوم و تغییرات درجه دوم بیان میکند، این قاعده حساب تصادفی را محاسباتی میکند و معادله بلک-شولز را به دست میدهد.
Clinical relevance
حساب ایتو زبان کاری مالی ریاضی است، جایی که فرمول ایتو معادله دیفرانسیل جزئی بلک-شولز و استراتژیهای پوشش ریسک را استخراج میکند، و همچنین در کنترل تصادفی، فیلتر کردن و فیزیک، هر جا که سیستمها به عنوان هدایت شده توسط نویز سفید گاوسی مدلسازی میشوند، کاربرد دارد.
History
ایتو انتگرال تصادفی و فرمول تغییر متغیرهای خود را در مقالات سالهای ۱۹۴۴ و ۱۹۵۱ برای ساخت فرآیندهای دیفیوژن معرفی کرد، استراتونوویچ و فیسک بعدها یک انتگرال جایگزین را پیشنهاد کردند که از قاعده زنجیرهای معمولی پیروی میکرد، و این دو فرمولبندی با بلوغ نظریه از طریق کارهای مککین، مایر و دیگران آشتی داده شدند.
Key figures
- Kiyosi Ito
- Ruslan Stratonovich
- Henry McKean
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
Frequently asked questions
- چرا فرمول ایتو یک جمله اضافی دارد؟
- زیرا حرکت براونی دارای تغییرات درجه دوم غیرصفر است، جمله مرتبه دوم در بسط تیلور در حد ناپدید نمیشود و یک تصحیح نیم برابر مشتق دوم را اضافه میکند که در حساب معمولی وجود ندارد.
- تفاوت بین انتگرال ایتو و استراتونوویچ چیست؟
- انتگرال ایتو انتگرالدهنده را در نقطه انتهایی چپ ارزیابی میکند و یک مارتینگل است، در حالی که انتگرال استراتونوویچ از نقطه میانی استفاده میکند و از قاعده زنجیرهای معمولی پیروی میکند؛ آنها با یک جمله تصحیح متفاوت هستند و برای کاربردهای مختلف مناسباند.