نظریه احتمال مبتنی بر اندازه
نظریه احتمال مبتنی بر اندازه، کل نظریه شانس را بر مبنای یک فضای اندازه با جرم کل یک بنا میکند، که در آن رویدادها به عنوان مجموعههای اندازهپذیر، متغیرهای تصادفی به عنوان توابع اندازهپذیر، و امید ریاضی به عنوان انتگرالگیری در برابر یک اندازه احتمال بازتعریف میشوند.
Definition
نظریه احتمال مبتنی بر اندازه، مبنای اصول موضوعی احتمال است که در آن احتمال یک اندازه شمارشپذیر جمعپذیر با جرم کل یک بر روی یک سیگما-جبر از رویدادها است، متغیرهای تصادفی توابع اندازهپذیر هستند، و امید ریاضی انتگرال یک متغیر تصادفی در برابر اندازه احتمال است.
Scope
این حوزه شامل فضاهای احتمال و سیگما-جبر رویدادها، اندازههای احتمال و ویژگیهای اساسی آنها، استقلال و لمهای بورل-کانتلی، ساخت امید ریاضی به عنوان انتگرال لبگ با قضایای همگرایی و نابرابریهای آن، و امید شرطی تعریف شده از طریق قضیه رادون-نیکودیم است.
Sub-topics
Core questions
- یک تخصیص احتمال برای پشتیبانی از یک نظریه سازگار شانس باید چه اصول موضوعی را برآورده کند؟
- متغیرهای تصادفی و امید ریاضی آنها چگونه به طور دقیق در یک فضای نمونه انتزاعی تعریف میشوند؟
- مستقل بودن رویدادها یا متغیرهای تصادفی به چه معناست و چه پیامدهای مجانبی به دنبال دارد؟
- احتمال شرطی چگونه تعریف میشود وقتی شرطیسازی بر رویدادهایی با احتمال صفر یا بر روی یک سیگما-جبر کامل انجام میشود؟
Key theories
- اصول موضوعه کولموگروف
- احتمال به عنوان یک تابع مجموعه شمارشپذیر جمعپذیر و نامنفی با جرم کل یک بر روی یک سیگما-جبر از رویدادها مدلسازی میشود، که تمام ابزارهای نظریه اندازه را در دسترس قرار میدهد و مبنای مدرن و دقیق احتمال را فراهم میکند.
- لمهای بورل-کانتلی
- اگر احتمالات یک دنباله از رویدادها جمعپذیر باشند، آنگاه فقط تعداد متناهی از آنها تقریباً مطمئناً رخ میدهند، و برعکس برای رویدادهای مستقل با احتمالات غیرقابل جمع، بینهایت تعداد از آنها تقریباً مطمئناً رخ میدهند، که یک دوگانگی واضح برای رفتار دنباله ارائه میدهد.
- امید شرطی از طریق رادون-نیکودیم
- امید شرطی با توجه به یک زیر-سیگما-جبر به عنوان تابع اندازهپذیر و انتگرالپذیر منحصر به فردی تعریف میشود که انتگرالهای آن بر روی آن زیر-سیگما-جبر توافق دارند، با وجودی که توسط قضیه رادون-نیکودیم تضمین شده است؛ این اساس مارتینگلها و بهروزرسانی بیزی است.
Clinical relevance
این حوزه سنگ بنای تمام احتمالات دقیق است: قضایای حدی، مارتینگلها، فرآیندهای مارکوف، و حساب تصادفی همگی بر پایه فضای احتمال توسعه یافتهاند، و امید شرطی به ویژه مبنای رسمی فیلتر کردن، پیشبینی، استنتاج بیزی، و قیمتگذاری بدون آربیتراژ مشتقات مالی است.
History
احتمال در سال ۱۹۳۳ توسط تکنگاشت کولموگروف بر پایه محکمی قرار گرفت، که احتمال را با یک اندازه با جرم کل یک شناسایی کرد و کارهای قبلی بورل، کانتلی، و لوی را یکپارچه ساخت. دیدگاه مبتنی بر اندازه، که توسط دوب و دیگران اصلاح شد، به زبان استاندارد این حوزه تبدیل شد و در متون تحصیلات تکمیلی بیلینگزلی، دورِت، و ویلیامز ارائه شده است.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- Emile Borel
- Francesco Paolo Cantelli
- Joseph L. Doob
Related topics
Seminal works
- kolmogorov1933
- billingsley1995
Frequently asked questions
- چرا احتمال اصلاً به نظریه اندازه نیاز دارد؟
- نظریه اندازه چیزی است که به احتمال اجازه میدهد تا فضاهای نمونه نامتناهی، متغیرهای تصادفی پیوسته، و حدود رویدادها را به طور سازگار مدیریت کند؛ جمعپذیری شمارشپذیر یک اندازه دقیقاً ویژگی مورد نیاز برای تعریف مناسب قضایای حدی و امید شرطی است.
- سیگما-جبر رویدادها چیست؟
- این مجموعهای از زیرمجموعههای فضای نمونه است که به آنها احتمال اختصاص داده میشود، و تحت مکمل و اجتماع شمارشپذیر بسته است؛ این بستار چیزی است که امکان محاسبه احتمالات حدود رویدادها را فراهم میکند.