متغیرهای تصادفی و توابع توزیع
متغیر تصادفی یک نگاشت اندازهپذیر از یک فضای احتمال به خط اعداد حقیقی است، و تابع توزیع آن، یعنی احتمال اینکه متغیر از یک سطح معین تجاوز نکند، روشی جهانی برای توصیف چگونگی پراکندگی مقادیر آن است.
Definition
متغیر تصادفی یک تابع اندازهپذیر از یک فضای احتمال به اعداد حقیقی است، و تابع توزیع آن هر عدد حقیقی را به احتمالی نگاشت میکند که متغیر مقداری کمتر یا مساوی آن را بگیرد.
Scope
این موضوع شامل اندازهپذیری متغیرهای تصادفی حقیقی و برداری، تابع توزیع تجمعی و ویژگیهای تعریفکننده آن شامل یکنواختی، پیوستگی از راست، و حدود، تطابق بین توابع توزیع و اندازههای احتمال روی خط، چگالیها و تجزیه لبگ به بخشهای گسسته، کاملاً پیوسته، و منفرد، و توزیعهای توأم بردارهای تصادفی با توزیعهای حاشیهای آنها میشود.
Core questions
- یک تابع روی فضای نمونه چه معنایی دارد که یک متغیر تصادفی باشد؟
- کدام ویژگیها یک تابع توزیع تجمعی را مشخص میکنند و چگونه توزیع را تعیین میکند؟
- چه زمانی یک توزیع دارای چگالی است و جایگزینها کدامند؟
- توزیعهای توأم و حاشیهای چندین متغیر تصادفی چگونه به هم مرتبط هستند؟
Key concepts
- تابع اندازهپذیر
- تابع توزیع تجمعی
- چگالی احتمال
- تجزیه لبگ
- توزیعهای توأم و حاشیهای
Key theories
- تطابق تابع توزیع
- هر اندازه احتمال روی خط اعداد حقیقی با یک تابع توزیع یکنواخت صعودی و پیوسته از راست با حدود صفر و یک مطابقت دارد، و بالعکس، که توصیفی کامل و ملموس از توزیعهای یکبعدی ارائه میدهد.
- تجزیه لبگ یک توزیع
- هر توزیع روی خط به طور منحصر به فرد به یک بخش گسسته که روی اتمها پشتیبانی میشود، یک بخش کاملاً پیوسته با چگالی، و یک بخش پیوسته منفرد تقسیم میشود، که روشن میکند چه زمانی یک چگالی احتمال وجود دارد و چه زمانی وجود ندارد.
Clinical relevance
توابع توزیع همان چیزی هستند که دادههای تجربی تخمین میزنند و مدلهای آماری فرض میکنند؛ تابع توزیع تجربی زیربنای آزمونهای برازش نیکو و بوتاسترپ است، کوانتیلهای مشتق شده از تابع توزیع، ارزش در معرض خطر و محدودههای مرجع را تعریف میکنند، و چگالیها اشیایی هستند که در بیشتر استنباطهای مبتنی بر درستنمایی برازش میشوند.
History
شناخت اینکه یک متغیر تصادفی صرفاً یک تابع اندازهپذیر است و رفتار آن توسط یک تابع توزیع ثبت میشود، با بازفرمولبندی نظریه احتمال مبتنی بر اندازه در اوایل قرن بیستم پدید آمد و جایگزین رویکرد موردی قبلی برای توزیعهای خاص شد.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- William Feller
- Henri Lebesgue
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
Frequently asked questions
- آیا هر متغیر تصادفی دارای چگالی است؟
- خیر؛ فقط متغیرهای تصادفی که توزیع آنها کاملاً پیوسته است دارای چگالی هستند. متغیرهای گسسته جرم را روی نقاط منفرد قرار میدهند، و توزیعهای پیوسته منفرد نادرتر، حتی اگر اتم نداشته باشند، چگالی ندارند.
- چرا تابع توزیع با «کوچکتر یا مساوی» تعریف میشود و نه «کاملاً کوچکتر»؟
- قرارداد «کوچکتر یا مساوی» تابع توزیع را از راست پیوسته میکند، که انتخاب طبیعی است و آن را در تطابق دقیق با اندازه احتمال زیربنایی و اتمهای آن قرار میدهد.