امید شرطی
امید شرطی بهترین پیشبینی یک متغیر تصادفی است، با توجه به اطلاعات موجود در یک زیر-سیگما-جبر، که به طور انتزاعی از طریق قضیه رادون-نیکودیم تعریف میشود و مانند یک فرافکنی میانگینگیر عمل میکند که به اطلاعات موجود احترام میگذارد.
Definition
امید شرطی یک متغیر تصادفی انتگرالپذیر با توجه به یک زیر-سیگما-جبر، تابع انتگرالپذیر یکتایی است، تا حد برابری تقریباً-مطمئن، که نسبت به آن زیر-سیگما-جبر قابل اندازهگیری است و دارای انتگرال یکسانی با متغیر اصلی بر روی هر مجموعه در آن است.
Scope
این موضوع شامل تعریف امید شرطی با توجه به یک زیر-سیگما-جبر، وجود و یکتایی تقریباً-مطمئن آن از طریق قضیه رادون-نیکودیم، خواص برج، بیرون کشیدن اطلاعات معلوم، و جنسن شرطی، تفسیر آن به عنوان یک فرافکنی متعامد در فضای متغیرهای مربع-انتگرالپذیر، احتمال شرطی و توزیعهای شرطی منظم، و نقش شرطیسازی به عنوان موتور مارتینگلها و بهروزرسانی بیزی است.
Core questions
- چگونه میتوان امید را بر اساس اطلاعاتی که ممکن است شامل رویدادهایی با احتمال صفر باشد، شرطی کرد؟
- چرا امید شرطی فقط تا یک مجموعه تهی تقریباً-مطمئن یکتا است؟
- به چه معنا امید شرطی بهترین پیشبینیکننده یک متغیر تصادفی است؟
- چگونه خواص برج و بیرون کشیدن، امید شرطی را قابل مدیریت میکنند؟
Key concepts
- سیگما-جبر شرطیسازی
- مشتق رادون-نیکودیم
- خاصیت برج
- فرافکنی حداقل مربعات
- توزیع شرطی منظم
Key theories
- وجود از طریق رادون-نیکودیم
- امید شرطی وجود دارد زیرا اندازهای که با انتگرالگیری از متغیر تصادفی بر روی مجموعههای زیر-سیگما-جبر به دست میآید، نسبت به اندازه احتمال محدود شده کاملاً پیوسته است، و مشتق رادون-نیکودیم آن همان امید شرطی است.
- خاصیت برج
- شرطیسازی بر یک سیگما-جبر درشتتر پس از شرطیسازی بر یک سیگما-جبر ظریفتر، امید شرطی درشتتر را بازمیگرداند، بنابراین شرطیسازی تکراری به سطح درشتترین فرو میریزد؛ این هویت هموارسازی برای نظریه مارتینگل و فیلترینگ اساسی است.
- مشخصه فرافکنی
- برای متغیرهای مربع-انتگرالپذیر، امید شرطی فرافکنی متعامد بر زیرفضای متغیرهای قابل اندازهگیری نسبت به سیگما-جبر شرطیسازی است، که آن را به بهترین پیشبینیکننده به روش حداقل مربعات با توجه به اطلاعات موجود تبدیل میکند.
Clinical relevance
امید شرطی مبنای رسمی پیشبینی و بهروزرسانی در شرایط عدم قطعیت است: مارتینگلها را تعریف میکند، زیربنای فیلتر کالمن و فیلترینگ غیرخطی است، میانگینهای پسین بیزی را بیان میکند، و قیمت بدون آربیتراژ یک ادعای مشروط را به عنوان یک امید شرطی تحت یک معیار خنثی از ریسک ارائه میدهد.
History
کولموگوروف تعریف کلی امید شرطی را با توجه به یک سیگما-جبر در سال ۱۹۳۳ معرفی کرد و با لنگر انداختن آن در قضیه رادون-نیکودیم، پارادوکسهای شرطیسازی بر رویدادهای تهی را حل کرد؛ سپس دوب آن را پایه و اساس نظریه مارتینگل قرار داد.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- Joseph L. Doob
- Johann Radon
- Otton Nikodym
Related topics
Seminal works
- williams1991
Frequently asked questions
- چرا امید شرطی یک متغیر تصادفی است و نه یک عدد؟
- زیرا باید مقدار پیشبینی شده را برای هر حالت ممکن از اطلاعات شرطیسازی کدگذاری کند؛ همانطور که آن اطلاعات در فضای نمونه تغییر میکند، مقدار پیشبینی شده نیز تغییر میکند و امید شرطی را به تابعی قابل اندازهگیری نسبت به سیگما-جبر شرطیسازی تبدیل میکند.
- چگونه شرطیسازی بر یک سیگما-جبر، شرطیسازی بر یک رویداد را تعمیم میدهد؟
- شرطیسازی بر یک رویداد با احتمال مثبت، حالت خاصی است که در آن زیر-سیگما-جبر توسط آن رویداد و مکمل آن تولید میشود؛ تعریف کلی این را به اطلاعاتی تعمیم میدهد که نمیتوانند توسط هیچ رویداد واحدی با احتمال مثبت ثبت شوند.