سیگما-جبرها و اندازهها
یک سیگما-جبر مجموعههایی را که میتوان اندازهگیری کرد، مشخص میکند و یک اندازه به هر یک از آنها یک اندازه سازگار اختصاص میدهد؛ این دو با هم فضای اندازهپذیری را تشکیل میدهند که تمام نظریه انتگرال بر پایه آن بنا شده است.
Definition
یک سیگما-جبر مجموعهای از زیرمجموعهها است که تحت متممها و اجتماعهای شمارا بسته است، و یک اندازه یک تابع مجموعهای غیرمنفی و جمعپذیر شمارا بر روی یک سیگما-جبر است؛ این جفت یک فضای اندازه را تشکیل میدهد که طول، مساحت، حجم و احتمال را تعمیم میدهد.
Scope
این موضوع شامل سیگما-جبرها و سیگما-جبر بورل تولید شده توسط مجموعههای باز، توابع اندازهپذیر، اصول موضوعه یک اندازه با جمعپذیری شمارا، اندازههای بیرونی و ساختار کاراتئودوری، ساختار اندازه لبگ، کامل بودن و مجموعههای پوچ، و پیوستگی اندازهها در امتداد دنبالههای یکنواخت است.
Core questions
- کدام مجموعههایی از مجموعهها میتوانند مفهوم سازگاری از اندازه را پشتیبانی کنند؟
- چگونه اندازه لبگ در فضای اقلیدسی از یک اندازه بیرونی ساخته میشود؟
- جمعپذیری شمارا چه چیزی را اضافه میکند که جمعپذیری متناهی نمیتواند؟
- چرا یک اندازه نمیتواند بر روی مطلقاً هر زیرمجموعهای تعریف شود؟
Key theories
- قضیه گسترش کاراتئودوری
- یک اندازه بیرونی به یک اندازه جمعپذیر شمارای واقعی بر روی سیگما-جبر مجموعههای اندازهپذیر خود محدود میشود، ساختاری که اندازه لبگ و اندازهها را بر روی فضاهای انتزاعی از توابع مجموعهای سادهتر تولید میکند.
- وجود مجموعههای غیرقابل اندازهگیری
- با فرض اصل انتخاب، زیرمجموعههایی از خط حقیقی وجود دارند که هیچ اندازه جمعپذیر شمارای ناوردا تحت انتقال نمیتواند اندازهای به آنها اختصاص دهد، به همین دلیل یک سیگما-جبر به جای همه زیرمجموعهها مورد نیاز است.
Clinical relevance
فضاهای اندازه مبنای رسمی نظریه احتمال هستند، جایی که سیگما-جبر رویدادهای قابل مشاهده را کدگذاری میکند و اندازه توزیع احتمال است؛ همین چارچوب از انتگرالگیری، برخورد دقیق با تصادفی بودن در آمار و مالی، و تعریف فضاهای تابع در آنالیز پشتیبانی میکند.
History
بورل سیگما-جبر مجموعههای ساخته شده از بازهها را در حدود سال ۱۸۹۸ معرفی کرد و لبگ اندازه را بر روی خط در سال ۱۹۰۲ تعریف کرد. روش اندازه بیرونی کاراتئودوری این ساختار را به فضاهای انتزاعی تعمیم داد و مثال ویتالی در سال ۱۹۰۵ یک مجموعه غیرقابل اندازهگیری را نشان داد.
Key figures
- Constantin Caratheodory
- Emile Borel
- Henri Lebesgue
Related topics
Seminal works
- folland1999
- axler2020
Frequently asked questions
- چرا فقط هر زیرمجموعهای از خط را اندازهگیری نکنیم؟
- با استفاده از اصل انتخاب میتوان مجموعههایی مانند مجموعههای ویتالی را ساخت که نمیتوان به آنها اندازهای سازگار با ناوردایی تحت انتقال و جمعپذیری شمارا اختصاص داد، بنابراین اندازهگیری به یک سیگما-جبر محدود میشود.
- نقش جمعپذیری شمارا چیست؟
- جمعپذیری شمارا، یعنی اینکه اندازه یک اجتماع شمارای مجزا برابر با مجموع اندازهها است، چیزی است که به اندازهها اجازه میدهد تا به خوبی با حدها تعامل داشته باشند و قضایای همگرایی انتگرالگیری را ممکن میسازد.