فضاهای احتمال و پیشامدها
فضای احتمال سهتایی متشکل از فضای نمونهای از نتایج، یک سیگما-جبر از پیشامدها، و یک اندازه احتمال است که به هر پیشامد عددی بین صفر و یک اختصاص میدهد، و این صحنهای است که تمام نظریه احتمال بر آن بنا شده است.
Definition
فضای احتمال یک سهتایی متشکل از یک فضای نمونه، یک سیگما-جبر از زیرمجموعههای اندازهپذیر به نام پیشامدها، و یک اندازه احتمال جمعپذیر شمارا با جرم کل یک است که به هر پیشامد احتمال آن را اختصاص میدهد.
Scope
این موضوع شامل فضای نمونه و سیگما-جبر پیشامدها، اصول موضوعهای که یک اندازه احتمال باید برآورده کند، پیوستگی احتمال در طول دنبالههای افزایشی و کاهشی پیشامدها، ساخت اندازهها از توابع مجموعهای از طریق بسط کاراتئودوری، و ساختارهای استاندارد مانند اندازه لبگ در بازه واحد به عنوان یک فضای احتمال کانونی است.
Core questions
- تفاوت بین یک نتیجه و یک پیشامد چیست، و چرا پیشامدها باید یک سیگما-جبر را تشکیل دهند؟
- کدام ویژگیها یک اندازه احتمال را تعریف میکنند، و چگونه آنها پیوستگی از پایین و بالا را ایجاد میکنند؟
- چگونه یک اندازه احتمال از توصیف احتمالات بر روی مجموعههای ساده ساخته میشود؟
- چه فضای احتمال کانونی زیربنای مدلهای آشنا مانند یک عدد تصادفی یکنواخت در بازه واحد است؟
Key concepts
- فضای نمونه و نتایج
- سیگما-جبر پیشامدها
- جمعپذیری شمارا
- پیوستگی احتمال
- پیشامدهای پوچ و ویژگیهای تقریباً مطمئن
Key theories
- اصول موضوعه یک اندازه احتمال
- یک اندازه احتمال نامنفی است، به کل فضای نمونه احتمال یک را اختصاص میدهد، و بر روی پیشامدهای مجزا به صورت شمارا جمعپذیر است؛ این اصول موضوعه به معنای یکنواختی، فرمول شمول و عدم شمول، و پیوستگی در طول دنبالههای یکنواخت پیشامدها هستند.
- قضیه بسط کاراتئودوری
- یک تابع مجموعهای شمارا جمعپذیر که بر روی یک جبر تعریف شده است، به طور یکتا به یک اندازه بر روی سیگما-جبر تولید شده بسط مییابد، که این امکان را میدهد تا یک اندازه احتمال بر روی پیشامدهای ساده مشخص شود و سپس به تمام پیشامدهای اندازهپذیر بسط یابد.
Clinical relevance
فرمالیسم فضای احتمال همان چیزی است که اظهارات مربوط به پدیدههای تصادفی را بدون ابهام میسازد؛ هر مدل احتمالی کاربردی، از سیستمهای صفبندی گرفته تا استنتاج آماری و مدلسازی ریسک، به طور ضمنی تأییدیهای در مورد یک فضای احتمال و پیشامدهای تعریف شده بر روی آن است.
History
اگرچه احتمالات غیررسمی برای قرنها محاسبه میشدند، مفهوم دقیق فضای احتمال به اصول موضوعه کولموگروف در سال ۱۹۳۳ بازمیگردد، که از ابزار بسط کاراتئودوری از نظریه اندازه برای ارائه یک پایه دقیق برای پیشامدها و احتمالات آنها استفاده کرد.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- Constantin Caratheodory
- Emile Borel
Related topics
Seminal works
- kolmogorov1933
Frequently asked questions
- چرا فقط به هر زیرمجموعه از فضای نمونه احتمال اختصاص ندهیم؟
- برای فضاهای نمونه ناشمارا، نمیتوان یک احتمال شمارا جمعپذیر سازگار را بر روی تمام زیرمجموعهها تعریف کرد، بنابراین احتمالات به یک سیگما-جبر از پیشامدهای اندازهپذیر محدود میشوند، که همچنان شامل هر پیشامد مورد علاقه عملی است.
- تقریباً مطمئن به چه معناست؟
- یک پیشامد تقریباً مطمئن است اگر متمم آن احتمال صفر داشته باشد؛ چنین پیشامدهای پوچی را میتوان برای هدف محاسبه احتمالات و امید ریاضی نادیده گرفت، حتی اگر به معنای واقعی کلمه غیرممکن نباشند.