نظریه اندازه
نظریه اندازه، مفهوم دقیقی از اندازه، طول، مساحت، حجم و احتمال را برای مجموعههای بسیار کلی از مجموعهها ارائه میدهد و بر این اساس، انتگرال لبگ را بنا مینهد که تحلیل مدرن را قدرت میبخشد.
Definition
نظریه اندازه شاخهای از تحلیل ریاضی است که یک اندازه سازگار از اندازه را به زیرمجموعههای یک فضا اختصاص میدهد و از آن برای تعریف انتگرالگیری استفاده میکند، که طول، مساحت، حجم و احتمال را در یک چارچوب اصول موضوعه واحد تعمیم میدهد.
Scope
این حوزه شامل سیگما-جبرها و اندازهها، توابع اندازهپذیر، ساختار اندازه لبگ، انتگرال لبگ و قضایای همگرایی آن، فضاهای Lp، اندازههای علامتدار و مختلط با قضیه رادون-نیکودیم، و اندازههای ضربی با قضیه فوبینی-تونلی میشود.
Sub-topics
Core questions
- چگونه میتوان مفهوم اندازه را به طور سازگار به یک خانواده غنی از مجموعهها از جمله مجموعههای نامنظم اختصاص داد؟
- انتگرال لبگ چگونه تعریف میشود و چرا تحت حدود، رفتار بهتری نسبت به انتگرال ریمان دارد؟
- چه زمانی میتوان حدود را با انتگرالها جابجا کرد؟
- چگونه دو اندازه با هم مقایسه میشوند و چه زمانی یکی دارای چگالی نسبت به دیگری است؟
Key theories
- قضیه همگرایی غالب لبگ
- اگر توابع انتگرالپذیر به صورت نقطهای همگرا شوند و به طور یکنواخت توسط یک تابع انتگرالپذیر ثابت کراندار باشند، آنگاه حد انتگرالهای آنها برابر با انتگرال حد است، که جابجایی حد و انتگرال را فراهم میکند که نظریه ریمان فاقد آن است.
- قضیه رادون-نیکودیم
- اگر یک اندازه سیگما-متناهی نسبت به اندازه دیگری کاملاً پیوسته باشد، میتوان آن را به صورت انتگرال یک تابع چگالی نسبت به آن اندازه دیگر نوشت، که مفهوم دقیق چگالی احتمال و امید شرطی را فراهم میکند.
Clinical relevance
نظریه اندازه اساس ضروری نظریه احتمال مدرن است، جایی که اندازهها توزیعهای احتمال هستند و انتگرال لبگ همان امید ریاضی است؛ همچنین تحلیل تابعی را از طریق فضاهای Lp و هیلبرت، تحلیل هارمونیک، نظریه ارگودیک، و برخورد دقیق با فرآیندهای تصادفی مورد استفاده در امور مالی و آمار را پایهگذاری میکند.
History
نظریه اندازه با اندازه بورل بر روی خط آغاز شد و شکل قطعی خود را توسط لبگ در رساله ۱۹۰۲ خود که انتگرال مدرن را معرفی کرد، به دست آورد. ساختار اندازه بیرونی کاراتئودوری، کار رادون بر روی اندازهها در فضاهای عمومی، و اصول موضوعه احتمال کولموگروف در سال ۱۹۳۳، نظریه انتزاعی مورد استفاده امروزی را بنیان نهادند.
Key figures
- Henri Lebesgue
- Emile Borel
- Johann Radon
- Constantin Caratheodory
Related topics
Seminal works
- folland1999
Frequently asked questions
- چرا انتگرال لبگ را معرفی کنیم در حالی که انتگرال ریمان از قبل وجود دارد؟
- انتگرال لبگ میتواند توابع بسیار بیشتری را انتگرالگیری کند، و قضایای همگرایی آن اجازه میدهد تا حدود و انتگرالها تحت فرضیات ملایم جابجا شوند، که برای تحلیل، احتمال، و کامل بودن فضاهای Lp ضروری است.
- سیگما-جبر چیست؟
- سیگما-جبر مجموعهای از زیرمجموعهها است که یک اندازه بر روی آنها تعریف میشود؛ این مجموعه تحت متممها و اجتماعهای شمارا بسته است، ویژگیهای بستاری که برای جمعپذیری شمارا و عملیات حد ضروری هستند تا معنیدار باشند.