امید ریاضی و انتگرالگیری
امید ریاضی، انتگرال لبگ یک متغیر تصادفی نسبت به اندازه احتمال است؛ مفهومی واحد که مجموعها را برای متغیرهای گسسته و انتگرالها را برای متغیرهای پیوسته یکپارچه میکند و قضایای همگرایی قدرتمندی را از نظریه اندازه به ارث میبرد.
Definition
امید ریاضی یک متغیر تصادفی، انتگرال آن نسبت به اندازه احتمال است که ابتدا برای متغیرهای نامنفی به عنوان سوپریمم بر روی تقریبهای ساده ساخته میشود و سپس به عنوان تفاوت بخشهای مثبت و منفی به متغیرهای انتگرالپذیر تعمیم مییابد.
Scope
این موضوع شامل ساختار امید ریاضی برای متغیرهای تصادفی ساده، نامنفی و انتگرالپذیر، قضایای همگرایی یکنواخت و همگرایی مسلط و لم فاتو، فرمول تغییر متغیرها که امید ریاضی را به انتگرالها نسبت به توزیع مرتبط میکند، گشتاورها و فضاهای Lp، و نامساویهای جنسن، هولدر، مارکوف و چبیشف میشود.
Core questions
- امید ریاضی برای یک متغیر تصادفی دلخواه، نه فقط گسسته یا پیوسته، چگونه تعریف میشود؟
- تحت چه شرایطی میتوان یک حد را به داخل امید ریاضی منتقل کرد؟
- گشتاورها و فضاهای Lp چگونه اندازه یک متغیر تصادفی را کمیسازی میکنند؟
- کدام نامساویها احتمالها و امید ریاضیها را بر حسب گشتاورها کراندار میکنند؟
Key concepts
- امید ریاضی به عنوان انتگرال لبگ
- همگرایی یکنواخت و همگرایی مسلط
- لم فاتو
- گشتاورها و واریانس
- فضاهای Lp متغیرهای تصادفی
Key theories
- قضایای همگرایی یکنواخت و همگرایی مسلط
- برای متغیرهای تصادفی نامنفی افزایشی، امید ریاضی حد برابر با حد امید ریاضیها است، و برای دنبالههایی که توسط یک متغیر انتگرالپذیر مسلط میشوند، همین جابجایی برقرار است که قضایای حدی را که نظریه ابتدایی فاقد آن است، ارائه میدهد.
- نامساوی جنسن
- برای یک تابع محدب، امید ریاضی تابع یک متغیر تصادفی حداقل برابر با تابع امید ریاضی آن است، که مقایسههای گشتاور، خاصیت انقباضی امید ریاضی شرطی و بسیاری از کرانها را در سراسر نظریه احتمال به دست میدهد.
- نامساویهای مارکوف و چبیشف
- احتمال اینکه یک متغیر تصادفی نامنفی از یک سطح فراتر رود، توسط میانگین آن تقسیم بر آن سطح کراندار میشود، و با اعمال آن به انحرافات مربعی، این نامساوی پراکندگی را بر حسب واریانس کنترل میکند و مسیر ابتدایی را به قانون ضعیف اعداد بزرگ فراهم میآورد.
Clinical relevance
امید ریاضی و نامساویهای آن در هر جایی که کمیتها تحت عدم قطعیت میانگینگیری میشوند، کاربرد دارند: آنها میانگینها، واریانسها و معیارهای ریسک را در آمار و مالی تعریف میکنند، کرانهای تمرکز را در پس نظریه یادگیری و الگوریتمهای تصادفی فراهم میآورند و قضایای همگرایی را که تخمین مونت کارلو را توجیه میکنند، ارائه میدهند.
History
هنگامی که انتگرال لبگ در دسترس قرار گرفت، احتمالدانان امید ریاضی را با انتگرالگیری نسبت به اندازه احتمال یکسان دانستند؛ یکسانسازی که در چارچوب کولموگروف صریح شد و با قضایای همگرایی و نامساویهای کلاسیک آن در متون استاندارد تحصیلات تکمیلی توسعه یافت.
Key figures
- Henri Lebesgue
- Johan Jensen
- Pafnuty Chebyshev
- Andrey Markov
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
Frequently asked questions
- آیا امید ریاضی همان میانگین بر روی نتایج است؟
- از نظر مفهومی بله: این انتگرال متغیر تصادفی است که با احتمال هر نتیجه وزندهی شده است، که برای متغیرهای گسسته به یک مجموع وزندار و برای متغیرهای پیوسته به یک انتگرال معمولی نسبت به یک تابع چگالی کاهش مییابد.
- چه زمانی میتوانم یک حد و یک امید ریاضی را جابجا کنم؟
- قضیه همگرایی یکنواخت این امکان را برای دنبالههای نامنفی افزایشی فراهم میکند و قضیه همگرایی مسلط این امکان را زمانی فراهم میکند که دنباله توسط یک متغیر انتگرالپذیر ثابت کراندار شود؛ بدون چنین شرایطی، این جابجایی ممکن است ناموفق باشد.