مارتینگلها و انتگرالگیری تصادفی
مارتینگلهای زمان پیوسته، با تغییرات درجه دوم و تجزیه خود به بخشهای پیشبینیپذیر و مارتینگل، انتگرالگیرندههایی هستند که انتگرالهای تصادفی بر اساس آنها ساخته میشوند.
Definition
در زمان پیوسته، مارتینگل فرآیندی است که افزایشهای مورد انتظار شرطی آن ناپدید میشوند؛ تغییرات درجه دوم آن نوسانات انباشته شده را اندازهگیری میکند، تجزیه دوب-مایر زیرمارتینگلها را به یک بخش افزایشی پیشبینیپذیر و یک مارتینگل تقسیم میکند، و این ساختارها انتگرالگیری تصادفی در برابر سمیمارتینگلها را تعریف میکنند.
Scope
این موضوع مارتینگلهای زمان پیوسته و مارتینگلهای محلی، تجزیه دوب-مایر (Doob-Meyer) زیرمارتینگلها، تغییرات درجه دوم و فرآیند براکت، سمیمارتینگلها به عنوان بزرگترین رده طبیعی انتگرالگیرندهها، ساخت انتگرال تصادفی در برابر یک مارتینگل، و قضیه نمایش مارتینگل که مارتینگلهای براونی را به عنوان انتگرالهای تصادفی بیان میکند را پوشش میدهد.
Core questions
- چگونه مارتینگلهای زمان پیوسته و مارتینگلهای محلی حالت گسسته را تعمیم میدهند؟
- تغییرات درجه دوم چیست و چرا در انتگرالگیری تصادفی محوری است؟
- چگونه تجزیه دوب-مایر بخش مارتینگل یک فرآیند را شناسایی میکند؟
- چرا سمیمارتینگلها رده طبیعی انتگرالگیرندهها هستند و نمایش مارتینگل چه چیزی را ارائه میدهد؟
Key theories
- تجزیه دوب-مایر و تغییرات درجه دوم
- یک زیرمارتینگل به طور منحصر به فرد به یک مارتینگل محلی به علاوه یک فرآیند افزایشی پیشبینیپذیر تجزیه میشود، و تغییرات درجه دوم یک مارتینگل محلی پیوسته، فرآیند پیشبینیپذیری است که کسر آن مربع آن را به یک مارتینگل تبدیل میکند و معیار واریانس را برای انتگرالهای تصادفی فراهم میآورد.
- انتگرال تصادفی و نمایش مارتینگل
- انتگرال تصادفی یک فرآیند پیشبینیپذیر در برابر یک مارتینگل با انتگرالپذیری مربعی، خود یک مارتینگل با تغییرات درجه دوم قابل محاسبه است، و قضیه نمایش مارتینگل نشان میدهد که هر مارتینگل براونی چنین انتگرالی است، که مبنای پوشش ریسک در مالی است.
Clinical relevance
انتگرالگیری تصادفی مبتنی بر مارتینگل، مبنای ریاضی انتگرال ایتو و معادلات دیفرانسیل تصادفی، نظریه فیلترینگ، و قیمتگذاری بدون آربیتراژ و پوشش ریسک در مالی ریاضی است، جایی که قضیه نمایش مارتینگل استراتژیهای تکثیرکننده برای اوراق بهادار مشتقه را ارائه میدهد.
History
دوب تجزیهای را که مایر در سال 1962 اثبات کرد، حدس زد، مکتب استراسبورگ به رهبری مایر نظریه عمومی سمیمارتینگلها و انتگرالگیری تصادفی را در دهههای 1960 و 1970 توسعه داد، و کار کونیتا و واتانابه بر روی مارتینگلهای با انتگرالپذیری مربعی، انتگرال در برابر انتگرالگیرندههای مارتینگل عمومی را یکپارچه کرد.
Key figures
- Joseph Doob
- Paul-Andre Meyer
- Kiyosi Ito
- Hiroshi Kunita
Related topics
Seminal works
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- چرا در برابر مارتینگلها انتگرالگیری میکنیم و نه در برابر توابع معمولی؟
- مسیرهای مارتینگل برای انتگرالگیری به معنای معمولی بیش از حد نامنظم هستند، اما نوسانات کنترل شده آنها، که با تغییرات درجه دوم اندازهگیری میشود، یک انتگرال احتمالی را امکانپذیر میسازد که خود یک مارتینگل است و زیربنای حساب تصادفی است.
- تغییرات درجه دوم چیست؟
- این حد مجموع افزایشهای مربعی یک فرآیند بر روی تقسیمبندیهای ریزتر است؛ برای مسیرهای مارتینگل معمولاً غیرصفر است و به عنوان ساعت واریانس طبیعی برای انتگرالگیری تصادفی عمل میکند.