زنجیرههای مارکوف زمان-پیوسته
یک زنجیره مارکوف زمان-پیوسته بین مجموعهای گسسته از حالتها در زمانهای تصادفی حرکت میکند و هر حالت را برای مدت زمانی با توزیع نمایی نگه میدارد، سپس بر اساس نرخهای انتقال ثابت جهش میکند.
Definition
یک زنجیره مارکوف زمان-پیوسته یک فرآیند تصادفی در فضای حالت شمارشپذیر است که توسط زمان پیوسته نمایه میشود و آینده آن با توجه به حال، مستقل از گذشته است. این زنجیره با یک ماتریس مولد از نرخهای انتقال مشخص میشود به طوری که زمانهای نگهداری نمایی هستند و جهشها از یک زنجیره تعبیهشده پیروی میکنند.
Scope
این حوزه شامل توصیف زمان نگهداری و زنجیره جهش، مولد بینهایت کوچک و نرخهای انتقال، معادلات دیفرانسیل پیشرو و پسرو کولموگروف، توزیعهای ایستا و برگشتپذیری، فرآیندهای تولد-مرگ، و ساخت زنجیرهها از زنجیرههای جهش زمان-گسسته تعبیهشده آنها میشود.
Sub-topics
Core questions
- چگونه زمانهای نگهداری نمایی و احتمالات جهش یک زنجیره زمان-پیوسته را تعریف میکنند؟
- ماتریس مولد چیست و چگونه نرخهای انتقال را کدگذاری میکند؟
- معادلات پیشرو و پسرو کولموگروف چگونه تکامل احتمالات انتقال را توصیف میکنند؟
- چه زمانی یک زنجیره زمان-پیوسته دارای توزیع ایستا است؟
Key theories
- مولد و معادلات کولموگروف
- مولد بینهایت کوچک نرخهای انتقال آنی را جمعآوری میکند، و ماتریس احتمال انتقال معادلات دیفرانسیل پیشرو و پسرو کولموگروف را حل میکند و تکامل زمانی را به صورت یک ماتریس نمایی از مولد ارائه میدهد.
- ساخت زنجیره جهش و زمان نگهداری
- یک زنجیره زمان-پیوسته از یک زنجیره جهش زمان-گسسته تعبیهشده ساخته میشود که حالتهای متوالی و زمانهای نگهداری نمایی مستقل را انتخاب میکند که نرخهای آنها به حالت فعلی بستگی دارد و مکان حرکت زنجیره را از زمان حرکت آن جدا میکند.
Clinical relevance
زنجیرههای مارکوف زمان-پیوسته سیستمهای صف، شبکههای واکنش شیمیایی، دینامیک جمعیت، گسترش اپیدمی، و قابلیت اطمینان سیستمهای چندجزئی را مدلسازی میکنند و توصیفات زمان-پیوسته قابل حل را ارائه میدهند که رفتار تعادلی و گذرا آنها را میتوان از مولد محاسبه کرد.
History
مقاله کولموگروف در سال ۱۹۳۱ درباره روشهای تحلیلی در احتمال، معادلات دیفرانسیل حاکم بر احتمالات انتقال را معرفی کرد، و کار فلر در دهههای ۱۹۳۰ و ۱۹۴۰ ساختار و رفتار انفجاری زنجیرههای زمان-پیوسته را روشن کرد و نظریه مبتنی بر مولد را که امروزه استفاده میشود، پایهگذاری کرد.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- William Feller
- Alfred Lotka
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- یک زنجیره مارکوف زمان-پیوسته چه تفاوتی با یک زنجیره زمان-گسسته دارد؟
- انتقالها در زمانهای پیوسته تصادفی رخ میدهند نه در گامهای ثابت؛ زنجیره هر حالت را برای یک زمان نمایی نگه میدارد و سپس جهش میکند، با دینامیکی که توسط نرخهای انتقال کنترل میشود نه یک ماتریس احتمال یک گامی.
- مولد بینهایت کوچک چیست؟
- این ماتریس نرخهای انتقال است که ورودیهای خارج از قطر آن نرخ جهش بین حالتها را نشان میدهد و مجموع ردیفهای آن صفر است؛ احتمالات انتقال در طول زمان، ماتریس نمایی مولد ضربدر زمان سپری شده است.