Movimiento browniano y cálculo estocástico
El movimiento browniano es el proceso aleatorio continuo cuyos incrementos son independientes y gaussianos; el cálculo estocástico construido sobre él proporciona las reglas para integrar y diferenciar a lo largo de sus trayectorias erráticas.
Definition
El movimiento browniano es un proceso de tiempo continuo con incrementos gaussianos estacionarios independientes y trayectorias continuas no diferenciables en ningún punto, y el cálculo estocástico es la teoría de la integración y diferenciación con respecto a dichos procesos, centrado en la integral de Ito y la fórmula de cambio de variables de Ito.
Scope
Esta área cubre el proceso de Wiener y las propiedades de su trayectoria, la integral estocástica de Ito y la fórmula de Ito, las ecuaciones diferenciales estocásticas y los procesos de difusión, el vínculo con las ecuaciones diferenciales parciales a través de Feynman-Kac y la ecuación de Fokker-Planck, el cambio de medida de Girsanov y la extensión a los procesos de Levy con saltos.
Sub-topics
Core questions
- ¿Qué propiedades caracterizan el movimiento browniano y hacen que sus trayectorias sean tan irregulares?
- ¿Cómo se define la integración frente al movimiento browniano a pesar de su variación infinita?
- ¿Qué es la fórmula de Ito y cómo reemplaza la regla de la cadena ordinaria?
- ¿Cómo extienden el marco las ecuaciones diferenciales estocásticas y los procesos de Levy?
Key theories
- Integral de Ito y fórmula de Ito
- La integral de Ito define la integración frente al movimiento browniano explotando la propiedad de martingala y la variación cuadrática que es igual al tiempo transcurrido, y la fórmula de Ito proporciona una regla de cambio de variables con un término adicional de segunda derivada que refleja esa variación.
- Difusiones y el vínculo con las ecuaciones diferenciales parciales
- Las soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas son difusiones de Markov cuyas densidades de transición resuelven las ecuaciones de Fokker-Planck y de Kolmogorov hacia atrás, y la fórmula de Feynman-Kac representa las soluciones de ecuaciones parabólicas como expectativas sobre trayectorias de difusión.
Clinical relevance
El movimiento browniano y el cálculo estocástico modelan la difusión de partículas y el calor, la fluctuación aleatoria de los precios de los activos en la teoría de Black-Scholes de valoración de opciones, el ruido en sistemas físicos y de ingeniería, y el filtrado de señales ruidosas, lo que los hace indispensables en física, finanzas y control.
History
Brown observó el movimiento errático de los granos de polen en 1827, Einstein y Smoluchowski dieron su teoría física alrededor de 1905, Bachelier ya lo había utilizado para las finanzas en 1900, Wiener lo construyó rigurosamente en 1923, e Ito creó el cálculo estocástico en la década de 1940 que lo convirtió en una herramienta computacional.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- ¿Por qué no se puede usar el cálculo ordinario para el movimiento browniano?
- Las trayectorias brownianas tienen una variación total infinita y no son diferenciables en ningún punto, por lo que las integrales ordinarias y la regla de la cadena clásica fallan; el cálculo estocástico de Ito proporciona reemplazos que tienen en cuenta la variación cuadrática.
- ¿Qué es la fórmula de Ito?
- Es el análogo estocástico de la regla de la cadena para funciones del movimiento browniano o difusiones, incluyendo un término adicional que involucra la segunda derivada que surge de la variación cuadrática no nula de las trayectorias.