Procesos de Levy

Un proceso de Levy tiene incrementos estacionarios independientes y trayectorias continuas en probabilidad, unificando el movimiento browniano, el proceso de Poisson y sus combinaciones en una única familia con saltos.

Definition

Un proceso de Levy es un proceso estocástico que comienza en cero con incrementos estacionarios e independientes y que es continuo en probabilidad, por lo que su incremento en cualquier intervalo tiene una distribución infinitamente divisible y su exponente característico viene dado por la fórmula de Levy-Khintchine.

Scope

Este tema abarca la definición de los procesos de Levy a través de incrementos estacionarios independientes, su correspondencia con distribuciones infinitamente divisibles, la fórmula de Levy-Khintchine que descompone el proceso en partes de deriva, gaussiana y de salto, la descomposición de Levy-Ito de las trayectorias de la muestra, los subordenadores y los procesos estables, y el cálculo estocástico y las aplicaciones para procesos con saltos.

Core questions

• ¿Qué define un proceso de Levy y lo vincula a distribuciones infinitamente divisibles?
• ¿Cómo codifica la fórmula de Levy-Khintchine la deriva, la difusión y los saltos?
• ¿Cómo describe la descomposición de Levy-Ito las trayectorias de la muestra?
• ¿Qué procesos especiales de Levy, como los subordenadores y los procesos estables, surgen?

Key theories

Fórmula de Levy-Khintchine

La función característica de un proceso de Levy en cualquier momento es la exponencial de un exponente característico que comprende una deriva lineal, una varianza gaussiana y una integral contra una medida de Levy que rige los saltos, lo que proporciona una descripción completa de la ley.

Descomposición de Levy-Ito

Todo proceso de Levy se divide en una deriva determinista, un movimiento browniano independiente y una parte de salto puro independiente construida a partir de una medida aleatoria de Poisson de saltos, separando los componentes continuos y discontinuos de sus trayectorias.

Clinical relevance

Los procesos de Levy modelan los rendimientos de los activos con saltos repentinos, las reservas de riesgo de seguros, la difusión anómala en física y la entrada en cola con ráfagas, proporcionando alternativas más realistas a los modelos puramente gaussianos donde los movimientos grandes y raros son importantes.

History

De Finetti introdujo las distribuciones infinitamente divisibles en la década de 1920, Levy y Khinchin derivaron la representación del exponente característico alrededor de 1934, y la descomposición de Ito de las trayectorias en partes continuas y de salto completó la teoría estructural que lleva sus nombres, con un renovado interés de las finanzas matemáticas desde la década de 1990.

Key figures

• Paul Levy
• Aleksandr Khinchin
• Kiyosi Ito
• Bruno de Finetti

Seminal works

• bertoin1996
• sato1999

Frequently asked questions

¿Qué unifica el movimiento browniano y el proceso de Poisson?

Ambos son procesos de Levy, ya que tienen incrementos estacionarios independientes; el movimiento browniano es el caso gaussiano continuo y el proceso de Poisson es un caso de salto puro, y los procesos de Levy generales combinan deriva, difusión y saltos.

¿Qué es la medida de Levy?

Es la medida en la fórmula de Levy-Khintchine que especifica la tasa y los tamaños de los saltos del proceso, controlando la frecuencia con la que ocurren los saltos de cada magnitud.