Cálculo de Itō e Integración Estocástica
El cálculo de Itō extiende la integración y la diferenciación a procesos impulsados por el movimiento browniano, reemplazando la regla de la cadena ordinaria con la fórmula de Itō, que incluye un término adicional de la variación cuadrática.
Definition
La integral de Itō es la integral estocástica de un proceso predecible contra el movimiento browniano, definida de modo que es una martingala con varianza dada por la isometría de Itō, y la fórmula de Itō es la regla de cambio de variables resultante que añade un término de segunda derivada que refleja la variación cuadrática del integrador.
Scope
Este tema abarca la construcción de la integral de Itō como un límite de sumas de Riemann con puntos finales izquierdos contra el movimiento browniano, la isometría de Itō, la propiedad de martingala de la integral, la fórmula de Itō para funciones de difusiones, las reglas multidimensionales y del producto, la comparación con la integral de Stratonovich y el cálculo de variación cuadrática que distingue la integración estocástica de la ordinaria.
Core questions
- ¿Cómo se construye la integral de Itō y por qué deben usarse los puntos finales izquierdos?
- ¿Qué es la isometría de Itō y cómo controla la varianza de la integral?
- ¿Qué término adicional distingue la fórmula de Itō de la regla de la cadena ordinaria?
- ¿En qué se diferencia la integral de Itō de la integral de Stratonovich?
Key theories
- Integral de Itō y la isometría de Itō
- Definir la integral con evaluaciones en el punto final izquierdo la convierte en una martingala, y la isometría de Itō iguala el cuadrado esperado de la integral con la integral esperada del integrando al cuadrado, dando a la integral su estructura y estabilidad L2.
- Fórmula de Itō
- Para una función suave de una difusión, la fórmula de Itō expresa el diferencial como el término gradiente usual más una corrección que involucra la segunda derivada y la variación cuadrática, la regla que hace que el cálculo estocástico sea computacional y produce la ecuación de Black-Scholes.
Clinical relevance
El cálculo de Itō es el lenguaje de trabajo de las finanzas matemáticas, donde la fórmula de Itō deriva la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes y las estrategias de cobertura, y del control estocástico, el filtrado y la física, dondequiera que los sistemas se modelen como impulsados por ruido blanco gaussiano.
History
Itō introdujo la integral estocástica y su fórmula de cambio de variables en artículos de 1944 y 1951 para construir procesos de difusión; Stratonovich y Fisk propusieron más tarde una integral alternativa que obedecía la regla de la cadena ordinaria, y las dos formulaciones se reconciliaron a medida que la teoría maduraba a través del trabajo de McKean, Meyer y otros.
Key figures
- Kiyosi Ito
- Ruslan Stratonovich
- Henry McKean
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
Frequently asked questions
- ¿Por qué la fórmula de Itō tiene un término extra?
- Debido a que el movimiento browniano tiene una variación cuadrática no nula, el término de segundo orden en una expansión de Taylor no desaparece en el límite, añadiendo una corrección de la mitad de la segunda derivada ausente en el cálculo ordinario.
- ¿Cuál es la diferencia entre las integrales de Itō y Stratonovich?
- La integral de Itō evalúa el integrando en el punto final izquierdo y es una martingala, mientras que la integral de Stratonovich utiliza el punto medio y obedece la regla de la cadena ordinaria; difieren en un término de corrección y se adaptan a diferentes aplicaciones.