Movimiento browniano
El movimiento browniano, o proceso de Wiener, es el paseo aleatorio en tiempo continuo que surge como el límite de escala de innumerables pequeños pasos independientes; sus trayectorias son continuas en todas partes pero no diferenciables en ninguna.
Definition
El movimiento browniano es un proceso estocástico de valor real que comienza en cero con trayectorias muestrales continuas, cuyos incrementos en intervalos disjuntos son independientes y se distribuyen normalmente con media cero y varianza igual a la longitud del intervalo.
Scope
El tema abarca las propiedades definitorias del movimiento browniano como un proceso con trayectorias continuas, incrementos estacionarios independientes y distribuciones gaussianas, su existencia a través de la construcción de Wiener y el principio de invarianza de Donsker, las propiedades de trayectoria de continuidad, no diferenciabilidad y variación cuadrática, la propiedad fuerte de Markov y el principio de reflexión, la ley del logaritmo iterado, y el papel del movimiento browniano como una martingala continua y un proceso gaussiano.
Core questions
- ¿Qué propiedades caracterizan de forma única el movimiento browniano entre los procesos estocásticos?
- ¿Cómo se establece la existencia de un proceso con trayectorias brownianas continuas?
- ¿Cuáles son las notables propiedades analíticas de las trayectorias brownianas?
- ¿Cómo produce el principio de reflexión la distribución del máximo y de los tiempos de impacto?
Key concepts
- Proceso de Wiener
- incrementos gaussianos independientes
- trayectorias no diferenciables
- variación cuadrática
- principio de reflexión
Key theories
- Principio de invarianza de Donsker
- Los paseos aleatorios reescalados adecuadamente convergen en distribución al movimiento browniano en el espacio de trayectorias continuas, el teorema del límite central funcional que explica la universalidad del movimiento browniano como el límite de pequeños efectos independientes sumados.
- Propiedades de la trayectoria y el principio de reflexión
- Las trayectorias brownianas son casi seguramente continuas, no diferenciables en ninguna parte y de variación cuadrática igual al tiempo transcurrido, y el principio de reflexión utiliza la propiedad fuerte de Markov para dar las distribuciones del máximo en curso y de los tiempos de primer paso en forma cerrada.
Clinical relevance
El movimiento browniano modela la difusión de partículas en física y química, la evolución ruidosa de los precios de los activos en la teoría financiera de Black-Scholes, el ruido térmico y electrónico en ingeniería, y la propagación aleatoria de contaminantes o genes; también es el bloque de construcción a partir del cual se construyen difusiones e integrales estocásticas más generales.
History
Robert Brown observó el movimiento errático de los granos de polen en 1827, y Einstein y Smoluchowski lo explicaron físicamente en 1905 y 1906. Norbert Wiener dio la construcción matemática rigurosa en 1923, y Levy y otros desarrollaron la teoría detallada de sus trayectorias.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Paul Levy
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Seminal works
- karatzas1991
Frequently asked questions
- ¿Por qué las trayectorias brownianas son continuas pero no diferenciables?
- En cualquier intervalo pequeño, el incremento es del orden de la raíz cuadrada de la longitud del intervalo, lo que mantiene la trayectoria continua pero hace que los cocientes de diferencias se disparen, por lo que no existe una derivada en ningún punto.
- ¿Cómo se relaciona el movimiento browniano con el paseo aleatorio?
- El movimiento browniano es el límite de escala de un paseo aleatorio: si un paseo aleatorio simple se acelera en el tiempo y se reduce en el espacio a tasas coincidentes, su trayectoria converge al movimiento browniano, como lo precisa el principio de invarianza de Donsker.